Explique como é possível visualizar o grupo
como o grupo de simetrias de um trinângulo equilátero.
Passo 1
O enunciado pergunta como interpretar o grupo das permutações de três objetos, isto é o grupo
, como o conjunto de todas as simetrias que levam um triângulo equilátero em si mesmo. O conteúdo aqui é teoria de grupos e ação de um grupo sobre um conjunto: vamos usar a ideia de que uma simetria do triângulo corresponde a uma permutação dos seus três vértices.
Passo 2
Considere um triângulo equilátero cujos vértices estão numerados por
. Qualquer simetria (movimento rigído que leva o triângulo exatamente em cima de si mesmo) deve enviar vértice em vértice, ou seja, define uma permutação de
.
Passo 3
Liste as seis simetrias do triângulo equilátero:
- A identidade
, que deixa fixos. - A rotação de
no sentido anti-horário, que envia , , . - A rotação de
(ou ), que envia , , . - A reflexão
no eixo que passa por e pelo meio do lado oposto, trocando . - A reflexão
no eixo que passa por e pelo meio do lado oposto, trocando . - A reflexão
no eixo que passa por e pelo meio do lado oposto, trocando .
Passo 4
Cada uma dessas simetrias define uma permutação distinta em
. Por exemplo, a rotação de
é a permutação
, e a reflexão
é a transposição
. Assim obtemos exatamente as seis permutações de três elementos, ou seja, todos os elementos de
.
Passo 5
Verifica-se que a composição de duas simetrias corresponde à composição de permutações em
, e que o mapeamento “simetria
permutação dos vértices” é bijetivo e respeita a operação de grupo. Portanto é um isomorfismo de grupos.
Resposta
O grupo de simetrias de um triângulo equilátero é isomorfo a
, pois cada simetria corresponde a uma permutação dos três vértices, e a composição de movimentos equivale à composição de permutações.