Explique como é possível visualizar o grupo S3 como o grupo de simetrias de um trinângulo equilátero.

Passo 1

O enunciado pergunta como interpretar o grupo das permutações de três objetos, isto é o grupo ,S3,, como o conjunto de todas as simetrias que levam um triângulo equilátero em si mesmo. O conteúdo aqui é teoria de grupos e ação de um grupo sobre um conjunto: vamos usar a ideia de que uma simetria do triângulo corresponde a uma permutação dos seus três vértices.

Passo 2

Considere um triângulo equilátero cujos vértices estão numerados por 1,2,3. Qualquer simetria (movimento rigído que leva o triângulo exatamente em cima de si mesmo) deve enviar vértice em vértice, ou seja, define uma permutação de 1,2,3.

Passo 3

Liste as seis simetrias do triângulo equilátero:
  1. A identidade e, que deixa 1,2,3 fixos.
  2. A rotação de 120^circ no sentido anti-horário, que envia 1mapsto2, 2mapsto3, 3mapsto1.
  3. A rotação de 240^circ (ou -120^circ), que envia 1mapsto3, 3mapsto2, 2mapsto1.
  4. A reflexão r1 no eixo que passa por 1 e pelo meio do lado oposto, trocando 2rightarrow3.
  5. A reflexão r2 no eixo que passa por 2 e pelo meio do lado oposto, trocando 1rightarrow3.
  6. A reflexão r3 no eixo que passa por 3 e pelo meio do lado oposto, trocando 1rightarrow2.

Passo 4

Cada uma dessas simetrias define uma permutação distinta em 1,2,3. Por exemplo, a rotação de 120^circ é a permutação (1,2,3), e a reflexão r1 é a transposição (2,3). Assim obtemos exatamente as seis permutações de três elementos, ou seja, todos os elementos de ,S3.

Passo 5

Verifica-se que a composição de duas simetrias corresponde à composição de permutações em ,S3, e que o mapeamento “simetria mapsto permutação dos vértices” é bijetivo e respeita a operação de grupo. Portanto é um isomorfismo de grupos.

Resposta

O grupo de simetrias de um triângulo equilátero é isomorfo a ,S3, pois cada simetria corresponde a uma permutação dos três vértices, e a composição de movimentos equivale à composição de permutações.

Exercícios relacionados