Em cada item abaixo, determine
\langle\vec{v}, \vec{u}\rangle, |\vec{v}|, |\vec{u}| , o cosseno do angulo entre\vec{v} e\vec{u} , a componente escalar de\vec{u} na direção deçã\vec{v} (isto é,é|\vec{u}| \cos \theta, \operatorname{com} \theta o ângulo entreâ\vec{v} e\vec{u}$ ).
(a) \vec{v}=(2,-4, \sqrt{5}) e \vec{u}=(-2,4,-\sqrt{5})

Passo 1

O enunciado pede para os vetores \vec{v}=(2,-4,\sqrt{5}) e \vec{u}=(-2,4,-\sqrt{5}) calcular:
– o produto interno \langle\vec{v},\vec{u}\rangle;
– as normas \|\vec{v}\| e \|\vec{u}\|;
– o cosseno do ângulo \theta entre \vec{v} e \vec{u};
– a componente escalar de \vec{u} na direção de \vec{v}, ou seja \|\vec{u}\|\cos\theta.
Conteúdo: produto interno e norma em \mathbb R^3, relação com ângulo entre vetores.

Passo 2

Calculamos o produto interno usando a definição
\langle\vec{v},\vec{u}\rangle =2\cdot(-2)+(-4)\cdot4+(\sqrt{5})\cdot(-\sqrt{5}) =-4-16-5=-25.

Passo 3

As normas são
\|\vec{v}\| =\sqrt{2^2+(-4)^2+(\sqrt{5})^2} =\sqrt{4+16+5} =\sqrt{25}=5,
\|\vec{u}\| =\sqrt{(-2)^2+4^2+(-\sqrt{5})^2} =\sqrt{4+16+5} =\sqrt{25}=5.

Passo 4

O cosseno do ângulo \theta satisfaz
\cos\theta =\frac{\langle\vec{v},\vec{u}\rangle}{\|\vec{v}\|\;\|\vec{u}\|} =\frac{-25}{5\cdot5} =-1.

Passo 5

A componente escalar de \vec{u} na direção de \vec{v} é
\|\vec{u}\|\cos\theta =5\cdot(-1) =-5.

Resposta

\langle\vec{v},\vec{u}\rangle=-25 \|\vec{v}\|=5 \|\vec{u}\|=5 \cos\theta=-1 \|\vec{u}\|\cos\theta=-5

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