QUESTÃO 01

Considere as circunferências
\lambda_{1}:(x+2)^{2}+(y+1)^{2}=5 e \lambda_{2}:(x-4)^{2}+(y-3)^{2}=9.
A área do triângulo cujos os vértices são os centros dessas circunferências e o ponto P\left(0, \frac{5}{2}\right), em unidades de área, é igual a
a) \frac{13}{2}.
b) \frac{11}{2}.
c) \frac{9}{4}.
d) \frac{7}{4}.
e) \frac{5}{4}.

Passo 1

O enunciado dá os centros das circunferências
\lambda_{1} com centro C_{1} = (-2,-1) e
\lambda_{2} com centro C_{2} = (4,3),
e o ponto P = \bigl(0,\tfrac{5}{2}\bigr).
Pede a área do triângulo C_{1}C_{2}P.
O conteúdo é geometria analítica no plano, e vamos usar a fórmula de área de um triângulo em função das coordenadas dos vértices.

Passo 2

Para três pontos (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2}), (x_{3},y_{3}), a área do triângulo é
\text{Área} = \frac12 \bigl|\,x_{1}(y_{2}-y_{3}) + x_{2}(y_{3}-y_{1}) + x_{3}(y_{1}-y_{2})\bigr|.Á

Passo 3

Identificamos
(x_{1},y_{1}) = (-2,-1),\quad (x_{2},y_{2}) = (4,3),\quad (x_{3},y_{3}) = \Bigl(0,\tfrac{5}{2}\Bigr).

Passo 4

Substituindo na fórmula:
\begin{aligned} &x_{1}(y_{2}-y_{3}) = -2\bigl(3 - \tfrac{5}{2}\bigr) = -2\cdot\tfrac{1}{2} = -1,\\\ &x_{2}(y_{3}-y_{1}) = 4\Bigl(\tfrac{5}{2} - (-1)\Bigr) = 4\cdot\tfrac{7}{2} = 14,\\\ &x_{3}(y_{1}-y_{2}) = 0\cdot(-1 - 3) = 0. \end{aligned}
Somando: -1 + 14 + 0 = 13.
Logo
\text{Área} = \frac12\bigl|13\bigr| = \frac{13}{2}.Á

Passo 5

A área é \tfrac{13}{2}, que corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a)

Exercícios relacionados