Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
\left(1+t^{2}\right) y^{\prime}+4 t y=\left(1+t^{2}\right)^{-2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
(1+t^{2})\,y'+4\,t\,y=(1+t^{2})^{-2}.
Esse é um problema de EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos colocar em forma padrão y'+P(t)\,y=Q(t) e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo toda a equação por (1+t^{2}), obtemos a forma padrão
y'+\frac{4\,t}{1+t^{2}}\,y=(1+t^{2})^{-3}.
Aqui identificamos
P(t)=\frac{4\,t}{1+t^{2}}, \quad Q(t)=(1+t^{2})^{-3}.

Passo 3

O fator integrante é dado por
\mu(t)=\exp\Bigl(\int P(t)\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(\int \frac{4\,t}{1+t^{2}}\,dt\Bigr).
Como \int \frac{4\,t}{1+t^{2}}\,dt=2\ln(1+t^{2}), segue
\mu(t)=e^{2\ln(1+t^{2})}=(1+t^{2})^{2}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(t)=(1+t^{2})^{2}, vem
(1+t^{2})^{2}\,y'+4\,t\,(1+t^{2})\,y=(1+t^{2})^{-1}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de (1+t^{2})^{2}y, pois
\frac{d}{dt}\bigl[(1+t^{2})^{2}y\bigr] =(1+t^{2})^{2}y'+4\,t\,(1+t^{2})\,y.
Logo
\frac{d}{dt}\bigl[(1+t^{2})^{2}y\bigr]=(1+t^{2})^{-1}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em t:
(1+t^{2})^{2}y =\int (1+t^{2})^{-1}\,dt + C =\arctan(t)+C.
Isolando y, obtemos
y(t)=\frac{\arctan(t)+C}{(1+t^{2})^{2}}.

Resposta

y(t)=\frac{\arctan(t)+C}{(1+t^{2})^{2}}.

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