QUESTÃO 02

Sejam f:[0, \pi] \rightarrow[-2,2] e g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} funções descritas por f(x)=4 \operatorname{sen} x \cos x e g(x)=1-|x|. O conjunto solução da equação (g \circ f)(x)=0 é
a) \left\{\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right\}.
b) \left\{\frac{\pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}\right\}.
c) \left\{\frac{7 \pi}{12}, \frac{11 \pi}{12}\right\}.
d) \left\{\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{12}, \frac{11 \pi}{12}\right\}.
е) \left\{\frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}, \frac{7 \pi}{12}, \frac{11 \pi}{12}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f\colon[0,\pi]\to[-2,2],\quad f(x)=4\sin x\cos x
e
g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad g(x)=1-|x|
e pede o conjunto solução de
(g\circ f)(x)=0.
Vamos precisar usar a definição de composição, propriedades do módulo e resolver equações trigonométricas do tipo \sin\theta=\pm\frac12.

Passo 2

Escrevemos
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=1-\bigl|f(x)\bigr|
e impomos
1-\bigl|f(x)\bigr|=0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|f(x)\bigr|=1.

Passo 3

Reescrevemos f(x) usando identidade trigonométrica:
f(x)=4\sin x\cos x=2\cdot2\sin x\cos x=2\sin(2x).
Logo a condição \bigl|f(x)\bigr|=1 vira
\bigl|2\sin(2x)\bigr|=1 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|\sin(2x)\bigr|=\tfrac12.

Passo 4

Temos que resolver
\sin(2x)=\pm\tfrac12,
com 2x\in[0,2\pi]. As soluções em [0,2\pi] são
2x=\frac{\pi}{6},\;\frac{5\pi}{6},\;\frac{7\pi}{6},\;\frac{11\pi}{6}.
Dividindo por 2 e lembrando que x deve ficar em [0,\pi], obtemos
x=\frac{\pi}{12},\;\frac{5\pi}{12},\;\frac{7\pi}{12},\;\frac{11\pi}{12}.

Resposta

\displaystyle \left\{\tfrac{\pi}{12},\,\tfrac{5\pi}{12},\,\tfrac{7\pi}{12},\,\tfrac{11\pi}{12}\right\}.

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