Em cada item abaixo, determine o maior subconjunto de
onde a função
em questão é contínua
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o maior subconjunto de todos os números reais onde a função
é contínua. Aqui, estamos lidando com continuidade de funções racionais, que são funções formadas pela divisão de dois polinômios. Para resolver isso, vamos identificar onde a função está bem definida, ou seja, onde o denominador não é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras” ou “buracos” nesse ponto. Para funções racionais como a nossa, a única coisa que pode causar descontinuidade é quando o denominador se torna zero, já que divisão por zero não é definida.
Passo 3
Então, nosso objetivo é encontrar os valores de
que tornam o denominador
igual a zero. Vamos resolver a equação:
Passo 4
Para resolver a equação quadrática
, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 6
Calculando as duas soluções:
Passo 7
Portanto, o denominador se anula nos pontos
e
. Isso significa que a função
não está definida nesses valores e, consequentemente, não é contínua neles.
Passo 8
Assim, a função
é contínua em todos os outros pontos de
, exceto em
e
.
Resposta
O maior subconjunto de
onde a função
é contínua é:
Ou seja, todos os números reais exceto
e
.