Em cada item abaixo, determine o maior subconjunto de R onde a função f em questão é contínua
f(x)=3 x-52 x^2-x-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o maior subconjunto de todos os números reais onde a função f(x) = 3x - 52x^2 - x - 3 é contínua. Aqui, estamos lidando com continuidade de funções racionais, que são funções formadas pela divisão de dois polinômios. Para resolver isso, vamos identificar onde a função está bem definida, ou seja, onde o denominador não é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras” ou “buracos” nesse ponto. Para funções racionais como a nossa, a única coisa que pode causar descontinuidade é quando o denominador se torna zero, já que divisão por zero não é definida.

Passo 3

Então, nosso objetivo é encontrar os valores de x que tornam o denominador 2x^2 - x - 3 igual a zero. Vamos resolver a equação:
2x^2 - x - 3 = 0

Passo 4

Para resolver a equação quadrática 2x^2 - x - 3 = 0 , podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 2 , b = -1 e c = -3 .

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
x = -(-1) pm raiz(-1)^2 - 4 cdot 2 cdot (-3)2 cdot 2 = 1 pm raiz1 + 244 = 1 pm raiz254
x = 1 pm 54

Passo 6

Calculando as duas soluções:
  1. x = 1 + 54 = 64 = 32
  2. x = 1 - 54 = -44 = -1

Passo 7

Portanto, o denominador se anula nos pontos x = 32 e x = -1 . Isso significa que a função f(x) não está definida nesses valores e, consequentemente, não é contínua neles.

Passo 8

Assim, a função f(x) é contínua em todos os outros pontos de R , exceto em x = 32 e x = -1 .

Resposta

O maior subconjunto de R onde a função f(x) = 3x - 52x^2 - x - 3 é contínua é:
R setminus -1, 32
Ou seja, todos os números reais exceto x = -1 e x = 32 .

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