Seja C a curva parametrizada pela função vetorial \mathrm{r}(t)=(t, \cos t, \operatorname{sen} t), onde t \in[0, \pi]. Calcule o comprimento de arco dessa curva. Determine também a curvatura da curva. Suponha que a trajetória de uma partícula seja descrita pela função vetorial r(t). A partícula começa no ponto r(0)=(0,1,0). Suponha que ela se mova \frac{\pi}{2} unidades de comprimento na direção positiva. Em que ponto da trajetória a partícula se encontra?

Passo 1

O enunciado dá a curva C parametrizada por
\mathbf{r}(t) = \bigl(t,\cos t,\sin t\bigr), \quad t\in[0,\pi],
e pede três coisas:
  1. O comprimento de arco de C. Para isso usamos a fórmula
L = \int_{0}^{\pi} \bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert\,dt.
  1. A curvatura \kappa(t) da curva, dada por
\kappa(t) = \frac{\bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\bigr\rVert}{\bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert^3}.
  1. Se uma partícula parte de t=0 e percorre s=\pi/2 unidades de comprimento em direção positiva, achar o ponto \mathbf{r}(t^*) correspondente. Para isso usamos que
s(t)=\int_{0}^{t}\!\bigl\lVert \mathbf{r}'(u)\bigr\rVert\,du
e resolvemos s(t^*)=\pi/2.

Passo 2

Calculamos a derivada
\mathbf{r}'(t) = \bigl(1,\,-\sin t,\,\cos t\bigr).
Logo a velocidade (módulo de \mathbf{r}') é
\bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert = \sqrt{1 + (-\sin t)^2 + (\cos t)^2} = \sqrt{1+ \sin^2 t + \cos^2 t} = \sqrt{2}.
Isso mostra que a curva tem velocidade constante \sqrt{2}.

Passo 3

Como \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert=\sqrt{2} é constante, o comprimento total de 0 a \pi é
L = \int_{0}^{\pi}\sqrt{2}\,dt = \sqrt{2}\,\bigl[\;t\;\bigr]_{0}^{\pi} = \pi\sqrt{2}.

Passo 4

Para a curvatura, precisamos de \mathbf{r}''(t) e do produto vetorial:
\mathbf{r}''(t) = \bigl(0,\,-\cos t,\,-\sin t\bigr).
Calculando
\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & -\sin t & \cos t\\\\ 0 & -\cos t & -\sin t \end{vmatrix} = \bigl(1,\;\sin t,\; -\cos t\bigr),
cujo módulo é
\bigl\lVert \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\bigr\rVert = \sqrt{1 + \sin^2 t + \cos^2 t} = \sqrt{2}.
Portanto a curvatura é
\kappa(t) = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^3} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \tfrac12,
isto é, constante igual a 1/2.

Passo 5

Para achar t^* tal que a partícula percorra s=\pi/2, usamos
s(t)=\int_{0}^{t}\sqrt{2}\,du = \sqrt{2}\,t.
Impondo s(t^*)=\pi/2
\sqrt{2}\,t^* = \frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad t^* = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}.
O ponto correspondente é
\mathbf{r}\bigl(t^*\bigr) = \Bigl(\tfrac{\pi}{2\sqrt{2}},\, \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2\sqrt{2}}\bigr),\, \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2\sqrt{2}}\bigr)\Bigr).

Resposta

(a) O comprimento de arco é \pi\sqrt{2}.
(b) A curvatura é \kappa(t)=\tfrac12.
(c) Após percorrer \pi/2, a partícula estará em
\Bigl(\tfrac{\pi}{2\sqrt{2}},\, \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2\sqrt{2}}\bigr),\, \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2\sqrt{2}}\bigr)\Bigr).

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