Em cada item abaixo, determine a transformação linear com a propriedade dada: ,
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício de Transformação Linear. Basicamente, estamos trabalhando com duas “salas” de números: U = R^3 e V = M(2, R) (que são matrizes 2x2 com números reais). A ideia é encontrar uma transformação linear T que leva vetores de U para matrizes em V , seguindo as propriedades que foram dadas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como as transformações lineares funcionam e como determinar T usando os vetores e matrizes fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T: R^3 M(2, R) é linear se ela respeita duas propriedades:
Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
Multiplicação por escalar: T(cu) = cT(u)
Isso significa que se a gente conhece T em alguns vetores, dá para estender para qualquer vetor usando essas propriedades.
Passo 3
Aqui, a gente tem três vetores em R^3 e suas imagens em M(2, R) :
T(1,1,0) = 0 & 0 1 & 1
T(1,0,1) = 0 & 1 2 & 2
T(0,1,1) = 0 & 1 1 & 1
Nosso objetivo é encontrar uma forma geral para T(x, y, z) que funcione para qualquer vetor (x, y, z) em R^3 .
Passo 4
Vamos supor que a transformação T seja uma combinação linear dos vetores (1,1,0) , (1,0,1) e (0,1,1) . Isso significa que podemos escrever:
T(x, y, z) = xT(1,0,0) + yT(0,1,0) + zT(0,0,1)
Mas como a gente não tem T(1,0,0) , T(0,1,0) e T(0,0,1) , precisamos expressar esses em termos dos vetores que a gente tem.
Passo 5
Vamos tentar expressar os vetores base [(1,0,0)), e como combinações lineares dos vetores , e .
Resolvendo o sistema:
Encontramos que:
E substituindo na primeira equação:
Isso indica que os vetores são linearmente independentes e formam uma base para .
Passo 6
Como os vetores são uma base, qualquer vetor [(x, y, z)) pode ser escrito como uma combinação:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e :
Resolvendo:
Da segunda equação:
- Substituindo na terceira:
- Então
- E
Passo 7
Agora que temos alpha , beta e gamma , podemos escrever T(x, y, z) usando as imagens dos vetores da base: