Em cada item abaixo, determine a transformação linear T: U V com a propriedade dada:
U=R^3, V=M(2, R),
T(1,1,0)=(ll 0 & 0 1 & 1 ), T(1,0,1)=(ll 0 & 1 2 & 2 ) e T(0,1,1)=(ll 0 & 1 1 & 1 )

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício de Transformação Linear. Basicamente, estamos trabalhando com duas “salas” de números: U = R^3 e V = M(2, R) (que são matrizes 2x2 com números reais). A ideia é encontrar uma transformação linear T que leva vetores de U para matrizes em V , seguindo as propriedades que foram dadas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como as transformações lineares funcionam e como determinar T usando os vetores e matrizes fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T: R^3 M(2, R) é linear se ela respeita duas propriedades:
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(cu) = cT(u)
Isso significa que se a gente conhece T em alguns vetores, dá para estender para qualquer vetor usando essas propriedades.

Passo 3

Aqui, a gente tem três vetores em R^3 e suas imagens em M(2, R) :
  • T(1,1,0) = 0 & 0 1 & 1
  • T(1,0,1) = 0 & 1 2 & 2
  • T(0,1,1) = 0 & 1 1 & 1
Nosso objetivo é encontrar uma forma geral para T(x, y, z) que funcione para qualquer vetor (x, y, z) em R^3 .

Passo 4

Vamos supor que a transformação T seja uma combinação linear dos vetores (1,1,0) , (1,0,1) e (0,1,1) . Isso significa que podemos escrever:
T(x, y, z) = xT(1,0,0) + yT(0,1,0) + zT(0,0,1)
Mas como a gente não tem T(1,0,0) , T(0,1,0) e T(0,0,1) , precisamos expressar esses em termos dos vetores que a gente tem.

Passo 5

Vamos tentar expressar os vetores base [(1,0,0)), e como combinações lineares dos vetores , e .
Resolvendo o sistema:
Encontramos que:
E substituindo na primeira equação:
Isso indica que os vetores são linearmente independentes e formam uma base para .

Passo 6

Como os vetores são uma base, qualquer vetor [(x, y, z)) pode ser escrito como uma combinação:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e :
Resolvendo:
  • Da segunda equação:
    - Substituindo na terceira:
    - Então
    - E

Passo 7

Agora que temos alpha , beta e gamma , podemos escrever T(x, y, z) usando as imagens dos vetores da base:
T(x, y, z) = alpha T(1,1,0) + beta T(1,0,1) + gamma T(0,1,1)
Substituindo:
T(x, y, z) = x + y - z2 0 & 0 1 & 1 + x - y + z2 0 & 1 2 & 2 + z - x + y2 0 & 1 1 & 1

Passo 8

Fazendo as contas:
T(x, y, z) = 0 & 0 x + y - z2 & x + y - z2 + 0 & x - y + z2 2(x - y + z)2 & 2(x - y + z)2 + 0 & z - x + y2 z - x + y2 & z - x + y2
Simplificando cada matriz:
T(x, y, z) = 0 & 0 x + y - z2 & x + y - z2 + 0 & x - y + z2 x - y + z & x - y + z + 0 & z - x + y2 z - x + y2 & z - x + y2
Somando as matrizes:
T(x, y, z) = 0 & x - y + z2 + z - x + y2 x + y - z2 + x - y + z + z - x + y2 & x + y - z2 + x - y + z + z - x + y2
Simplificando as somas:
x - y + z2 + z - x + y2 = (x - y + z) + (z - x + y)2 = 2z2 = z
E para as entradas inferiores:
x + y - z2 + x - y + z + z - x + y2 = x + y - z + z - x + y2 + x - y + z = 2y2 + x - y + z = y + x - y + z = x + z

Resposta

Portanto, a transformação linear T: R^3 M(2, R) é dada por:
T(x, y, z) = 0 & z x + z & x + z

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