Em cada item abaixo, determine a transformação linear T: U V com a propriedade dada:
U=M(2, R), V=R[x]3,
l T(ll 1 & 0 1 & 0 )=1+x^2, T(rr 1 & 0 -1 & 0 )=1+x+x^2+x^3 T(ll 0 & 1 0 & 1 )=x+x^3 e T(rr 0 & 1 0 & -1 )=2-x+2 x^2-x^3

Passo 1

O enunciado pede para construir a transformação linear
Tcolon U to V, onde U = M(2,R) e V = R[x]3, sabendo-se apenas as imagens de quatro matrizes específicas. Como dim U = 4 = dim V, essas quatro matrizes formam uma base de U e, portanto, determinam unicamente T.

Passo 2

Definimos as quatro matrizes cujas imagens são dadas:
A1=1&01&0
A2=1&0-1&0
A3=0&10&1
A4=0&10&-1
Elas são quatro matrizes independentes em M(2,R), logo formam base de U.

Passo 3

Para ver como age em qualquer matriz genérica
escrevemos
Comparando as entradas de obtemos o sistema
Daí

Passo 4

Pela linearidade de T e usando as imagens dadas,
T(X) = p,(1+x^2) + q,(1+x+x^2+x^3) + r,(x+x^3) + s,(2 - x + 2x^2 - x^3)

Passo 5

Agrupando coeficientes de ,
Substituindo
concluímos

Resposta

Para qualquer ,

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