Em cada item abaixo, determine a transformação linear T: U V com a propriedade dada:
U=R^3, V=R^3,
T(1,1,0)=(1,0,0), T(1,0,1)=(1,1,1) e T(0,1,1)=(1,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir uma transformação linear T: R^3 R^3 que transforma vetores de R^3 para R^3. A gente sabe como T age em três vetores específicos:
T(1,1,0) = (1,0,0), T(1,0,1) = (1,1,1), T(0,1,1) = (1,0,1)
Vamos usar conceitos de transformações lineares e matrizes para descobrir como T funciona em geral.

Passo 2

Primeiro, lembra que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, T pode ser escrita como uma matriz A de 3 times 3 que multiplica um vetor x em R^3:
T(x) = A x
Nossa missão é descobrir os valores dos elementos de A .

Passo 3

Vamos chamar a matriz A de:
A = a & b & c d & e & f g & h & k
Então, quando multiplicamos A por um vetor (x, y, z) , temos:
T(x, y, z) = a x + b y + c z d x + e y + f z g x + h y + k z

Passo 4

Agora, vamos usar as informações que a transformação T nos dá para montar um sistema de equações e resolver para a, b, c, d, e, f, g, h, k .
Primeiro, aplicamos T ao vetor (1,1,0) :
T(1,1,0) = a(1) + b(1) + c(0) d(1) + e(1) + f(0) g(1) + h(1) + k(0) = a + b d + e g + h = 1 0 0
Isso gera as equações:
a + b = 1 d + e = 0 g + h = 0

Passo 5

Em seguida, aplicamos T ao vetor (1,0,1) :
T(1,0,1) = a(1) + b(0) + c(1) d(1) + e(0) + f(1) g(1) + h(0) + k(1) = a + c d + f g + k = 1 1 1
Isso nos dá mais três equações:
a + c = 1 d + f = 1 g + k = 1

Passo 6

Por último, aplicamos T ao vetor (0,1,1) :
T(0,1,1) = a(0) + b(1) + c(1) d(0) + e(1) + f(1) g(0) + h(1) + k(1) = b + c e + f h + k = 1 0 1
E mais três equações:
b + c = 1 e + f = 0 h + k = 1

Passo 7

Agora, vamos resolver o sistema de equações que obtivemos:
  1. a + b = 1
  2. d + e = 0
  3. g + h = 0
  4. a + c = 1
  5. d + f = 1
  6. g + k = 1
  7. b + c = 1
  8. e + f = 0
  9. h + k = 1
Vamos resolver passo a passo:
  • Da equação 1 e 4: a + b = a + c => b = c
  • Da equação 7: b + c = 1 => b + b = 1 => 2b = 1 => b = 12 e, portanto, c = 12
  • Da equação 1: a + 12 = 1 => a = 12
Agora para d, e, f :
  • Da equação 2: d + e = 0 => e = -d
  • Da equação 5: d + f = 1
  • Da equação 8: e + f = 0 => substituindo e = -d : -d + f = 0 => f = d
  • Substituindo em 5: d + d = 1 => 2d = 1 => d = 12 , f = 12 , e = -12
Para g, h, k :
  • Da equação 3: g + h = 0 => h = -g
  • Da equação 6: g + k = 1
  • Da equação 9: h + k = 1 => substituindo h = -g : -g + k = 1 => k = g + 1
  • Substituindo em 6: g + (g + 1) = 1 => 2g + 1 = 1 => 2g = 0 => g = 0 , h = 0 , k = 1

Resposta

A matriz que representa a transformação linear T é:
A = 12 & 12 & 12 12 & -12 & 12 0 & 0 & 1

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