Em cada item abaixo, determine a transformação linear com a propriedade dada: ,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir uma transformação linear que transforma vetores de para . A gente sabe como age em três vetores específicos:
Vamos usar conceitos de transformações lineares e matrizes para descobrir como funciona em geral.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, pode ser escrita como uma matriz de que multiplica um vetor em :
Nossa missão é descobrir os valores dos elementos de .
Passo 3
Vamos chamar a matriz de:
Então, quando multiplicamos A por um vetor (x, y, z) , temos:
T(x, y, z) = a x + b y + c z d x + e y + f z g x + h y + k z
Passo 4
Agora, vamos usar as informações que a transformação T nos dá para montar um sistema de equações e resolver para a, b, c, d, e, f, g, h, k .
Primeiro, aplicamos T ao vetor (1,1,0) :
T(1,1,0) = a(1) + b(1) + c(0) d(1) + e(1) + f(0) g(1) + h(1) + k(0) = a + b d + e g + h = 1 0 0
Isso gera as equações:
a + b = 1 d + e = 0 g + h = 0
Passo 5
Em seguida, aplicamos T ao vetor (1,0,1) :
T(1,0,1) = a(1) + b(0) + c(1) d(1) + e(0) + f(1) g(1) + h(0) + k(1) = a + c d + f g + k = 1 1 1
Isso nos dá mais três equações:
a + c = 1 d + f = 1 g + k = 1
Passo 6
Por último, aplicamos T ao vetor (0,1,1) :
T(0,1,1) = a(0) + b(1) + c(1) d(0) + e(1) + f(1) g(0) + h(1) + k(1) = b + c e + f h + k = 1 0 1
E mais três equações:
b + c = 1 e + f = 0 h + k = 1
Passo 7
Agora, vamos resolver o sistema de equações que obtivemos:
a + b = 1
d + e = 0
g + h = 0
a + c = 1
d + f = 1
g + k = 1
b + c = 1
e + f = 0
h + k = 1
Vamos resolver passo a passo:
Da equação 1 e 4: a + b = a + c => b = c
Da equação 7: b + c = 1 => b + b = 1 => 2b = 1 => b = 12 e, portanto, c = 12
Da equação 1: a + 12 = 1 => a = 12
Agora para d, e, f :
Da equação 2: d + e = 0 => e = -d
Da equação 5: d + f = 1
Da equação 8: e + f = 0 => substituindo e = -d : -d + f = 0 => f = d
Substituindo em 5: d + d = 1 => 2d = 1 => d = 12 , f = 12 , e = -12
Para g, h, k :
Da equação 3: g + h = 0 => h = -g
Da equação 6: g + k = 1
Da equação 9: h + k = 1 => substituindo h = -g : -g + k = 1 => k = g + 1
Substituindo em 6: g + (g + 1) = 1 => 2g + 1 = 1 => 2g = 0 => g = 0 , h = 0 , k = 1
Resposta
A matriz que representa a transformação linear T é: