Seja T: R^2 R^2 a transformação linear tal que
T(1,1)=(-1,2) e T(-1,1)=(2,-4)
Determine:
(x, y) in R^2 tal que T(x, y)=(pi,-2 pi).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:R^2toR^2 com
T(1,1)=(-1,2), T(-1,1)=(2,-4),
e pede (x,y) tal que T(x,y)=(pi,-2pi). Vamos usar a ideia de base em R^2, escrever (x,y) como combinação linear dos vetores (1,1) e (-1,1) e aplicar linearidade.

Passo 2

Verificamos que (1,1) e (-1,1) formam uma base de R^2. De fato,
det1 & -1 1 & 1 = 1 cdot 1 - (-1) cdot 1 = 2 neq 0
Logo, para certos escalares a,b vale
(x,y) = a,(1,1) + b,(-1,1)

Passo 3

Pela linearidade de T,
T(x,y) = a,T(1,1) + b,T(-1,1) = a,(-1,2) + b,(2,-4)

Passo 4

Em coordenadas:
T(x,y) = (-a + 2b,;2a - 4b)
Queremos isso igual a (pi,-2pi), resultando no sistema
-a + 2b = pi, 2a - 4b = -2pi

Passo 5

Note que a segunda equação é exatamente -2 vezes a primeira:
-2l(-a+2br)= -2piLong<=ftrightarrow 2a-4b=-2pi
Então só há uma condição independente e o sistema tem infinitas soluções.

Passo 6

Para descrever todas as soluções, escolhemos b=tinR. Da primeira equação
-a + 2t = pi Longrightarrow a = 2t - pi
Assim
(x,y) = a,(1,1) + t,(-1,1) = (a - t,;a + t) = l(2t-pi - t,;2t-pi + tr) = l(t-pi,;3t-pir)

Resposta

Todos os (x,y) que satisfazem T(x,y)=(pi,-2pi) são dado por
(x,y) = l(t - pi,;3t - pir), tinR

Exercícios relacionados