Seja
a transformação linear tal que
Determine:
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
com
e pede
tal que
. Vamos usar a ideia de base em
, escrever
como combinação linear dos vetores
e
e aplicar linearidade.
Passo 2
Verificamos que
e
formam uma base de
. De fato,
Logo, para certos escalares
a,b vale
Passo 3
Pela linearidade de
T ,
Passo 4
Em coordenadas:
Queremos isso igual a
(pi,-2pi) , resultando no sistema
Passo 5
Note que a segunda equação é exatamente
-2 vezes a primeira:
Então só há uma condição independente e o sistema tem infinitas soluções.
Passo 6
Para descrever todas as soluções, escolhemos
b=tinR . Da primeira equação
Assim
Resposta
Todos os
(x,y) que satisfazem
T(x,y)=(pi,-2pi) são dado por