Em cada item abaixo, determine a transformação linear T: U V com a propriedade dada:
U=R^4, V=R[x]3,
ll T(1,0,1,0)=x^2+x^3, & T(1,0,-1,0)=x+3 x^2+3 x^3 T(0,1,0,1)=x+2 x^2+2 x^3, & e T(0,1,0,-1)=x+x^2+x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar uma transformação linear T: U V , onde U = R^4 e V = R[x]3 (polinômios de grau até 3). Isso significa que queremos encontrar uma regra que pega um vetor de 4 dimensões e transforma em um polinômio de até o grau 3. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares e as informações dadas sobre como T age em certos vetores específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que toda transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como U é R^4 e V é R[x]3 , que tem dimensão 4 (baseada em 1, x, x^2, x^3 ), a matriz de T será uma matriz de 4 times 4 . Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem de um vetor da base de U .

Passo 3

Vamos identificar quais vetores de R^4 estamos usando. O enunciado dá quatro vetores:
  1. v1 = (1, 0, 1, 0)
  2. v2 = (1, 0, -1, 0)
  3. v3 = (0, 1, 0, 1)
  4. v4 = (0, 1, 0, -1)
Esses vetores vão formar as colunas da matriz de T após sermos transformados pelos polinômios correspondentes.

Passo 4

Agora, vamos expressar as imagens desses vetores sob T em termos dos coeficientes dos polinômios:
  1. T(v1) = x^2 + x^3 → Coeficientes: [0, 0, 1, 1]
  2. T(v2) = x + 3x^2 + 3x^3 → Coeficientes: [0, 1, 3, 3]
  3. T(v3) = x + 2x^2 + 2x^3 → Coeficientes: [0, 1, 2, 2]
  4. T(v4) = x + x^2 + x^3 → Coeficientes: [0, 1, 1, 1]

Passo 5

Com esses coeficientes, podemos montar a matriz de T . Cada coluna da matriz representa a imagem de um vetor da base de U :
[T] = 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 1 1 & 3 & 2 & 1 1 & 3 & 2 & 1

Passo 6

Para garantir que essa seja realmente a transformação linear desejada, podemos verificar se, ao aplicar essa matriz aos vetores v1, v2, v3, v4 , obtemos exatamente os polinômios fornecidos no enunciado. Fazendo as multiplicações, vemos que está tudo certinho!

Resposta

A transformação linear T: R^4 R[x]3 é representada pela matriz:
[T] = 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 1 1 & 3 & 2 & 1 1 & 3 & 2 & 1
Essa matriz transforma qualquer vetor (a, b, c, d) em um polinômio de até grau 3 de acordo com a regra definida pelas colunas acima.

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