Em cada item abaixo, determine a transformação linear com a propriedade dada: ,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar uma transformação linear , onde e (polinômios de grau até 3). Isso significa que queremos encontrar uma regra que pega um vetor de 4 dimensões e transforma em um polinômio de até o grau 3. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares e as informações dadas sobre como age em certos vetores específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que toda transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como é e é , que tem dimensão 4 (baseada em ), a matriz de será uma matriz de . Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem de um vetor da base de .
Passo 3
Vamos identificar quais vetores de estamos usando. O enunciado dá quatro vetores:
Esses vetores vão formar as colunas da matriz de após sermos transformados pelos polinômios correspondentes.
Passo 4
Agora, vamos expressar as imagens desses vetores sob em termos dos coeficientes dos polinômios:
→ Coeficientes:
→ Coeficientes:
→ Coeficientes:
→ Coeficientes:
Passo 5
Com esses coeficientes, podemos montar a matriz de . Cada coluna da matriz representa a imagem de um vetor da base de :
Passo 6
Para garantir que essa seja realmente a transformação linear desejada, podemos verificar se, ao aplicar essa matriz aos vetores v1, v2, v3, v4 , obtemos exatamente os polinômios fornecidos no enunciado. Fazendo as multiplicações, vemos que está tudo certinho!
Resposta
A transformação linear T: R^4 R[x]3 é representada pela matriz: