Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de cada transformação linear indicada abaixo.
T: R^3 R^2, dada por T(x, y, z)=(x+y, z-y).

Passo 1

O enunciado dá a aplicação linear
T:R^3toR^2, T(x,y,z)=(x+y,;z-y),
e pede a base e a dimensão do núcleo ( ker T) e da imagem ( Im T).

Passo 2

Para achar ker T resolvemos as equações
x+y=0, z-y=0
Da primeira vem x=-y e da segunda vem z=y.

Passo 3

Logo todo vetor do núcleo tem a forma
(x,y,z)=(-y,;y,;y)=ycdot(-1,1,1)
Assim
ker T=,y(-1,1,1)mid yinR
Uma base de ker T é
,(-1,1,1),
portanto dimker T=1.

Passo 4

Para a imagem, calculamos T nos vetores canônicos:
T(1,0,0)=(1,0), T(0,1,0)=(1,-1), T(0,0,1)=(0,1)
Isso mostra
Im T=span(1,0),(1,-1),(0,1)

Passo 5

Observamos que (1,-1)=(1,0)-(0,1), logo basta
(1,0),(0,1)
para gerar a imagem. Assim
Im T=R^2,
uma base é (1,0),(0,1) e dimIm T=2.

Resposta

Base de ker T: (-1,1,1).
dimker T=1.
Base de Im T: (1,0),(0,1).
dimIm T=2.

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