Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de cada transformação linear indicada abaixo.
, dada por
.
Passo 1
O enunciado dá a aplicação linear
e pede a base e a dimensão do núcleo (
) e da imagem (
).
Passo 2
Para achar
resolvemos as equações
Da primeira vem
e da segunda vem
.
Passo 3
Logo todo vetor do núcleo tem a forma
Assim
Uma base de
é
portanto
.
Passo 4
Para a imagem, calculamos
nos vetores canônicos:
Isso mostra
Passo 5
Observamos que
, logo basta
para gerar a imagem. Assim
uma base é
e
.
Resposta
Base de
:
.
.
Base de
:
.
.