Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de cada transformação linear indicada abaixo. , dada por .
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
Queremos encontrar uma base e a dimensão do núcleo de T e da imagem de T. Vamos usar como ponto de partida as imagens dos vetores da base canônica de C^3.
Passo 2
Calculemos
T(1,0,0), T(0,1,0), T(0,0,1)
1. Para (a,b,c)=(1,0,0):
coef.\ de x^0=1+0=1,
coef.\ de x^1=0-1=-1,
coef.\ de x^2=0+0=0,
coef.\ de x^3=0.
Logo
T(1,0,0)=1 - x
2. Para (a,b,c)=(0,1,0):
coef.\ de x^0=0+1=1,
coef.\ de x^1=0-0=0,
coef.\ de x^2=1+0=1,
coef.\ de x^3=1.
Logo
T(0,1,0)=1 + x^2 + x^3
3. Para (a,b,c)=(0,0,1):
coef.\ de x^0=0+0=0,
coef.\ de x^1=1-0=1,
coef.\ de x^2=0+1=1,
coef.\ de x^3=0.
Logo
T(0,0,1)=x + x^2
Passo 3
A imagem de
Para ver que estes três polinômios são linearmente independentes, suponha
Igualando coeficientes obtemos o sistema
Da última equação e . Logo só a solução trivial existe, o que mostra
Da última equação vem b=0. Então a=0 (pela primeira) e c=a=0. Logo a única solução é (a,b,c)=(0,0,0), isto é ker(T)=0. Logo dimker(T)=0 e a base do núcleo é o conjunto vazio.
Resposta
Base de ker(T): emptyset dimker(T)=0
Base de Im(T): ,1 - x,;1 + x^2 + x^3,;x + x^2 dimIm(T)=3