Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de cada transformação linear indicada abaixo.
T: C^3 C[x]3, dada por T(a, b, c)=a+b+(c-a) x+(b+c) x^2+b x^3.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon C^3to C[x]3
por
T(a,b,c)=underbrace(a+b)coef de x^0+underbrace(c-a)coef de x^1x+underbrace(b+c)coef de x^2x^2+underbracebcoef de x^3x^3
Queremos encontrar uma base e a dimensão do núcleo de T e da imagem de T. Vamos usar como ponto de partida as imagens dos vetores da base canônica de C^3.

Passo 2

Calculemos
T(1,0,0), T(0,1,0), T(0,0,1)
1. Para (a,b,c)=(1,0,0):
coef.\ de x^0=1+0=1,
coef.\ de x^1=0-1=-1,
coef.\ de x^2=0+0=0,
coef.\ de x^3=0.
Logo
T(1,0,0)=1 - x
2. Para (a,b,c)=(0,1,0):
coef.\ de x^0=0+1=1,
coef.\ de x^1=0-0=0,
coef.\ de x^2=1+0=1,
coef.\ de x^3=1.
Logo
T(0,1,0)=1 + x^2 + x^3
3. Para (a,b,c)=(0,0,1):
coef.\ de x^0=0+0=0,
coef.\ de x^1=1-0=1,
coef.\ de x^2=0+1=1,
coef.\ de x^3=0.
Logo
T(0,0,1)=x + x^2

Passo 3

A imagem de
Para ver que estes três polinômios são linearmente independentes, suponha
Igualando coeficientes obtemos o sistema
Da última equação e . Logo só a solução trivial existe, o que mostra
e
é uma base de .

Passo 4

Para o núcleo, resolvemos
T(a,b,c)=0Long<=ftrightarrow a+b=0, c-a=0, b+c=0, b=0
Da última equação vem b=0. Então a=0 (pela primeira) e c=a=0. Logo a única solução é (a,b,c)=(0,0,0), isto é
ker(T)=0. Logo
dimker(T)=0 e a base do núcleo é o conjunto vazio.

Resposta

Base de ker(T): emptyset dimker(T)=0
Base de Im(T): ,1 - x,;1 + x^2 + x^3,;x + x^2 dimIm(T)=3

Exercícios relacionados