Seja T: R^2 R^2 a transformação linear tal que
T(1,1)=(-1,2) e T(-1,1)=(2,-4)
Determine:
T(0,1) e T(7,-3).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T:R^2toR^2
com
T(1,1)=(-1,2) e T(-1,1)=(2,-4).
Queremos encontrar
T(0,1) e T(7,-3).
O conteúdo é álgebra linear: vamos escrever T em relação à base canônica e1,e2, onde e1=(1,0) e e2=(0,1).

Passo 2

Defina
A = T(e1) e B = T(e2).
Como
T(1,1)=T(e1+e2)=A+B e
T(-1,1)=T(-e1+e2)=-A+B,
temos o sistema de vetores
A + B = (-1,2)
- A + B = (2,-4)

Passo 3

Somando as duas equações, vem
2B = (-1,2)+(2,-4) = (1,-2),
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B = tfrac12,(1,-2) = l(tfrac12,-1r)

Passo 4

Substituindo B em A+B=(-1,2), obtemos
A = (-1,2) - l(tfrac12,-1r) = l(-1-tfrac12,;2-(-1)r) = l(-tfrac32,,3r)

Passo 5

Agora é direto:
;T(0,1)=T(e2)=B=(tfrac12,-1),
e
T(7,-3) = 7,T(e1) - 3,T(e2) = 7A - 3B = 7l(-tfrac32,3r);-;3l(tfrac12,-1r) = l(-tfrac212,21r) + l(-tfrac32,3r) = l(-12,,24r)

Resposta

T(0,1) = l(tfrac12,-1r) T(7,-3) = (-12,,24)

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