Para cada item abaixo, determine os valores de a com os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
x+2 y-3 z=4
x+y+7 z=-7
2 x-2 y+3 z=1

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear abaixo e pede para “determinar os valores de [a)” para os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
As equações dadas são:
\begin{cases} x+2y-3z=4,\\[4pt] x+y+7z=-7,\\[4pt] 2x-2y+3z=1. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As três equações acima são as únicas informações numéricas fornecidas.
  • O enunciado pede classificação em função de um parâmetro (a].
Observação importante (necessária antes de começar a resolver): o símbolo a mencionado na pergunta NÃO APARECE em nenhuma das três equações fornecidas. Ou seja, não há parâmetro a no sistema dado. Isso é crucial: não é possível "determinar os valores de a" se a não foi incluído no sistema. Portanto, não existe variação por a a ser analisada no enunciado tal como foi fornecido.
Dito isso, posso (e vou) analisar o sistema exatamente como está para dizer se ele, tal qual está, não tem solução, tem uma solução única ou infinitas soluções — isso pode ser útil para você conferir na prova caso o professor tenha se esquecido de colocar a no enunciado.]

Passo 2

Breve explicação da ideia/método que vou usar (aula rápida e prática).
  • Um sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b} tem:
    • exatamente uma solução se a matriz dos coeficientes A for invertível (ou seja, \det(A)\neq0); geometricamente, as retas/planos intersectam num único ponto;
    • nenhuma solução se for inconsistente (rangos da matriz aumentada e de A forem diferentes), isto é, as equações são contraditórias;
    • infinidade de soluções se o sistema for consistente mas o posto (rank) de A for menor que o número de incógnitas (há graus de liberdade).
  • Dois métodos práticos para verificar tudo isso: eliminação de Gauss (substituição direta do sistema por outro equivalente em forma triangular, back-substitution) ou cálculo do determinante de A (para sistemas quadrados 3\times3, \det(A)\neq0 garante solução única).
  • Vou aplicar eliminação de Gauss passo a passo (explicando cada operação), e em seguida checar com o determinante, para ficar bem didático.

Passo 3

Escrever a matriz aumentada do sistema (matriz dos coeficientes à esquerda e termos independentes à direita). Coloco tudo em forma matricial para facilitar as operações:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 4\\[4pt] 1 & 1 & 7 & -7\\[4pt] 2 & -2 & 3 & 1 \end{array}\right].
Cada linha corresponde a uma equação: primeira linha é a equação de x+2y-3z=4, etc.]

Passo 4

Aplicar eliminação de Gauss (objetivo: obter uma forma triangular superior, com zeros abaixo da primeira coluna pivot).
Começo subtraindo a linha 1 da linha 2 para zerar o primeiro coeficiente da segunda equação:
\text{Linha}_2 \leftarrow \text{Linha}_2 - \text{Linha}_1.
Cálculo linha a linha:
  • Nova linha 2: (1-1,\;1-2,\;7-(-3),\;-7-4)=(0,\;-1,\;10,\;-11).
Também subtraio 2 vezes a linha 1 da linha 3 para zerar o primeiro coeficiente da terceira equação:
\text{Linha}_3 \leftarrow \text{Linha}_3 - 2\cdot\text{Linha}_1.
  • Nova linha 3: (2-2,\;-2-4,\;3-(-6),\;1-8)=(0,\;-6,\;9,\;-7).
A matriz aumentada vira:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 4\\[4pt] 0 & -1 & 10 & -11\\[4pt] 0 & -6 & 9 & -7 \end{array}\right].
Explanação curta: as operações que fiz (subtrações de múltiplos de linhas) produzem um sistema equivalente; soluções são preservadas.]

Passo 5

Agora quero zerar o coeficiente da segunda coluna na linha 3. Uso a linha 2 (que tem coeficiente -1 na segunda coluna) para eliminar o -6 da linha 3.
Faço:
\text{Linha}_3 \leftarrow \text{Linha}_3 - 6\cdot\text{Linha}_2.
Cálculo:
  • 6\cdot\text{Linha}_2 = (0,\;-6,\;60,\;-66).
  • Nova linha 3: (0-0,\;-6-(-6),\;9-60,\;-7-(-66))=(0,\;0,\;-51,\;59).
A matriz passa a ser:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 4\\[4pt] 0 & -1 & 10 & -11\\[4pt] 0 & 0 & -51 & 59 \end{array}\right].
Interpretação da forma triangular: agora a terceira equação reduzida é simplesmente -51z=59. Se isso for consistente (isto é, se nao for algo do tipo 0z = c com c\neq0), posso resolver para z e fazer back-substitution.]

Passo 6

Resolver a terceira equação reduzida para z:
-51z=59 \quad\Rightarrow\quad z=\dfrac{59}{-51}=\dfrac{-59}{51}.
Breve comentário sobre simplificação: 59 é primo e 51=3\cdot17, portanto a fração \dfrac{-59}{51} não simplifica mais entre inteiros.

Passo 7

Fazer back-substitution para obter y usando a segunda linha reduzida 0\cdot x -1\cdot y +10 z = -11. Escrevendo:
-y +10z = -11.
Isolando y:
y = 11 + 10z.
Substituo z=\dfrac{-59}{51}:
y = 11 + 10\left(\dfrac{-59}{51}\right) = 11 - \dfrac{590}{51}.
Converto 11 para denominação 51: 11=\dfrac{561}{51}. Então
y=\dfrac{561}{51}-\dfrac{590}{51}=\dfrac{-29}{51}.

Passo 8

Agora obtenho x pela primeira equação original (ou pela linha reduzida que corresponde a ela): x+2y-3z=4. Isolando x:
x = 4 -2y +3z.
Substituo y=\dfrac{-29}{51} e z=\dfrac{-59}{51}:
x = 4 -2\left(\dfrac{-29}{51}\right) +3\left(\dfrac{-59}{51}\right) =4 + \dfrac{58}{51} - \dfrac{177}{51}.
Somando as frações: \dfrac{58}{51}-\dfrac{177}{51}=\dfrac{-119}{51}. Então
x = 4 + \dfrac{-119}{51} = \dfrac{204}{51} - \dfrac{119}{51} = \dfrac{85}{51}.
Simplificando \dfrac{85}{51}: como 85=5\cdot17 e 51=3\cdot17, divide por 17, obtém-se
x=\dfrac{5}{3}.
Portanto os valores encontrados (a partir da eliminação) são:
x=\dfrac{5}{3},\qquad y=\dfrac{-29}{51},\qquad z=\dfrac{-59}{51}.

Passo 9

Verificação alternativa rápida (intuição e teoria): posso confirmar que há solução única calculando o determinante da matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3\\[4pt] 1 & 1 & 7\\[4pt] 2 & -2 & 3 \end{pmatrix}.
Calculo (expansão pela primeira linha):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1&7\\[4pt]-2&3\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}1&7\\[4pt]2&3\end{pmatrix} +(-3)\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]2&-2\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det(A)=1(1\cdot3-7\cdot(-2)) -2(1\cdot3-7\cdot2) -3(1\cdot(-2)-1\cdot2).
\det(A)=1(3+14) -2(3-14) -3(-2-2)=17 -2(-11) -3(-4)=17+22+12=51.
Como \det(A)=51\neq0, a matriz é invertível e o sistema tem exatamente uma solução. Isso confirma o resultado obtido pela eliminação.]

Passo 10

Conclusão interpretativa final (motivação e incentivo):
  • Como o parâmetro a não foi fornecido no enunciado, não é possível responder "para quais valores de a" — simplesmente não há dependência em a no sistema apresentado.
  • No entanto, analisando o sistema exatamente como dado, encontramos que ele é compatível determinado (tem solução única), e a solução foi calculada nos passos acima.

Resposta

Não é possível determinar valores de a porque o parâmetro a não aparece no enunciado.
Para o sistema fornecido (sem parâmetro), ele tem exatamente uma solução:
x=\dfrac{5}{3},\qquad y=\dfrac{-29}{51},\qquad z=\dfrac{-59}{51}.

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