Para cada item abaixo, determine os valores de a com os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
x+2 y-3 z=4
x+y+7 z=-7
2 x-2 y+3 z=1
Passo 1
O enunciado fornece o sistema linear abaixo e pede para “determinar os valores de [a)” para os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
As três equações acima são as únicas informações numéricas fornecidas.
O enunciado pede classificação em função de um parâmetro (a].
Observação importante (necessária antes de começar a resolver): o símbolo a mencionado na pergunta NÃO APARECE em nenhuma das três equações fornecidas. Ou seja, não há parâmetro a no sistema dado. Isso é crucial: não é possível "determinar os valores de a" se a não foi incluído no sistema. Portanto, não existe variação por a a ser analisada no enunciado tal como foi fornecido.
Dito isso, posso (e vou) analisar o sistema exatamente como está para dizer se ele, tal qual está, não tem solução, tem uma solução única ou infinitas soluções — isso pode ser útil para você conferir na prova caso o professor tenha se esquecido de colocar a no enunciado.]
Passo 2
Breve explicação da ideia/método que vou usar (aula rápida e prática).
Um sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b} tem:
exatamente uma solução se a matriz dos coeficientes A for invertível (ou seja, \det(A)\neq0); geometricamente, as retas/planos intersectam num único ponto;
nenhuma solução se for inconsistente (rangos da matriz aumentada e de A forem diferentes), isto é, as equações são contraditórias;
infinidade de soluções se o sistema for consistente mas o posto (rank) de A for menor que o número de incógnitas (há graus de liberdade).
Dois métodos práticos para verificar tudo isso: eliminação de Gauss (substituição direta do sistema por outro equivalente em forma triangular, back-substitution) ou cálculo do determinante de A (para sistemas quadrados 3\times3, \det(A)\neq0 garante solução única).
Vou aplicar eliminação de Gauss passo a passo (explicando cada operação), e em seguida checar com o determinante, para ficar bem didático.
Passo 3
Escrever a matriz aumentada do sistema (matriz dos coeficientes à esquerda e termos independentes à direita). Coloco tudo em forma matricial para facilitar as operações:
Interpretação da forma triangular: agora a terceira equação reduzida é simplesmente -51z=59. Se isso for consistente (isto é, se nao for algo do tipo 0z = c com c\neq0), posso resolver para z e fazer back-substitution.]
Como \det(A)=51\neq0, a matriz é invertível e o sistema tem exatamente uma solução. Isso confirma o resultado obtido pela eliminação.]
Passo 10
Conclusão interpretativa final (motivação e incentivo):
Como o parâmetro a não foi fornecido no enunciado, não é possível responder "para quais valores de a" — simplesmente não há dependência em a no sistema apresentado.
No entanto, analisando o sistema exatamente como dado, encontramos que ele é compatível determinado (tem solução única), e a solução foi calculada nos passos acima.
Resposta
Não é possível determinar valores de a porque o parâmetro a não aparece no enunciado.
Para o sistema fornecido (sem parâmetro), ele tem exatamente uma solução: