Seja
uma curva regular. Prove que:
Se para cada
os vetores
e
são colineares, então
é um segmento de reta.
Se para cada
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado:
é uma curva regular (logo existe e para todo ) e é dada para todo . - Dado adicional: para cada
os vetores e são colineares. - O que se pede: provar que
é um segmento de reta (ou seja, a imagem da curva está contida numa reta, mais precisamente num subsegmento dessa reta).
Passo 2
Traduzir a condição de colinearidade em uma igualdade vetorial conveniente.
Se
e
são colineares para cada
, então existe uma função escalar
tal que, para todo
,
(Uma forma explícita de obter
, caso seja útil, é usar a projeção:
, já que
.)
Portanto temos a igualdade vetorial de primeira ordem para o vetor
:
Passo 3
Resolver a equação vetorial
mostrando que a direção de
é constante.
Defina a primitiva
para um ponto fixo
. Considere o produto escalar-exponencial
e calcule sua derivada:
Pela hipótese
o termo entre parênteses é zero, logo
Isto significa que
é constante no tempo. Chamando essa constante vetorial de
, obtemos
Passo 4
Interpretar a expressão obtida e mostrar que todos os vetores tangentes têm a mesma direção.
A fórmula
mostra que, para todo
,
é um múltiplo escalar do mesmo vetor fixo
. Assim todos os vetores tangentes
são colineares entre si, ou seja, têm a mesma direção. Note que a regularidade da curva garante
, portanto
(caso contrário
seria identicamente zero).
Passo 5
Integrar para obter
e concluir que a imagem está numa reta.
Integrando a expressão de
a partir de
temos, para todo
,
Assim
Isto mostra que, para todo
,
é da forma
com
. Em outras palavras,
está contida na reta que passa por
com direção
.
Como
é um intervalo em
(imagem contínua de intervalo), a imagem
é exatamente um segmento (possivelmente aberto/fechado/semifechado conforme
) dessa reta.