Seja \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva regular. Prove que:
Se para cada t \in I os vetores \alpha^{\prime \prime}(t) e \alpha^{\prime}(t) são colineares, então \alpha(I) é um segmento de reta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: \alpha: I \to \mathbb{R}^3 é uma curva regular (logo \alpha' existe e \alpha'(t)\neq 0 para todo t\in I) e é dada \alpha''(t) para todo t\in I.
  • Dado adicional: para cada t\in I os vetores \alpha''(t) e \alpha'(t) são colineares.
  • O que se pede: provar que \alpha(I) é um segmento de reta (ou seja, a imagem da curva está contida numa reta, mais precisamente num subsegmento dessa reta).

Passo 2

Traduzir a condição de colinearidade em uma igualdade vetorial conveniente.
Se \alpha''(t) e \alpha'(t) são colineares para cada t, então existe uma função escalar \lambda: I\to\mathbb{R} tal que, para todo t\in I,
\alpha''(t)=\lambda(t)\,\alpha'(t).
(Uma forma explícita de obter \lambda(t), caso seja útil, é usar a projeção: \lambda(t)=\dfrac{\langle\alpha''(t),\alpha'(t)\rangle}{\lVert\alpha'(t)\rVert^2\!}, já que \alpha'(t)\neq0.)
Portanto temos a igualdade vetorial de primeira ordem para o vetor \alpha'(t):
\alpha'(t)'\;=\;\lambda(t)\,\alpha'(t).

Passo 3

Resolver a equação vetorial \alpha''=\lambda\alpha' mostrando que a direção de \alpha' é constante.
Defina a primitiva
\varphi(t)=\int_{t_0}^{t}\lambda(s)\,ds
para um ponto fixo t_0\in I. Considere o produto escalar-exponencial e^{-\varphi(t)}\alpha'(t) e calcule sua derivada:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-\varphi(t)}\alpha'(t)\bigr) = e^{-\varphi(t)}\bigl(-\lambda(t)\alpha'(t)+\alpha''(t)\bigr).
Pela hipótese \alpha''(t)=\lambda(t)\alpha'(t) o termo entre parênteses é zero, logo
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-\varphi(t)}\alpha'(t)\bigr)=0.
Isto significa que e^{-\varphi(t)}\alpha'(t) é constante no tempo. Chamando essa constante vetorial de c\in\mathbb{R}^3, obtemos
\alpha'(t)=e^{\varphi(t)}\,c\qquad\text{para todo }t\in I.

Passo 4

Interpretar a expressão obtida e mostrar que todos os vetores tangentes têm a mesma direção.
A fórmula \alpha'(t)=e^{\varphi(t)}c mostra que, para todo t, \alpha'(t) é um múltiplo escalar do mesmo vetor fixo c. Assim todos os vetores tangentes \alpha'(t) são colineares entre si, ou seja, têm a mesma direção. Note que a regularidade da curva garante \alpha'(t)\neq0, portanto c\neq0 (caso contrário \alpha' seria identicamente zero).

Passo 5

Integrar para obter \alpha(t) e concluir que a imagem está numa reta.
Integrando a expressão de \alpha' a partir de t_0 temos, para todo t\in I,
\alpha(t)-\alpha(t_0)=\int_{t_0}^{t}\alpha'(s)\,ds =\int_{t_0}^{t} e^{\varphi(s)}c\,ds = \Bigl(\int_{t_0}^{t} e^{\varphi(s)}\,ds\Bigr)\,c.
Assim
\alpha(t)=\alpha(t_0)+\Bigl(\int_{t_0}^{t} e^{\varphi(s)}\,ds\Bigr)\,c.
Isto mostra que, para todo t, \alpha(t) é da forma \alpha(t_0)+u(t)\,c com u(t)\in\mathbb{R}. Em outras palavras, \alpha(I) está contida na reta que passa por \alpha(t_0) com direção c.
Como u(I)=\{\int_{t_0}^{t} e^{\varphi(s)}\,ds : t\in I\} é um intervalo em \mathbb{R} (imagem contínua de intervalo), a imagem \alpha(I)=\{\alpha(t_0)+u\,c : u\in u(I)\} é exatamente um segmento (possivelmente aberto/fechado/semifechado conforme I) dessa reta.

Resposta

\alpha(I) está contida em um segmento de reta (isto é, a imagem da curva é um segmento de reta).

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