Para cada número inteiro não-negativo k, descreva um poliedro no qual V-A+F=-2 k. Sugestão: duplique, triplique, etc, a Figura 4.3 para obter poliedros com mais “buracos”.

Passo 1

O que o problema pede: para cada inteiro não-negativo \,k\, descrever um poliedro tal que
V - A + F = -2k,
onde \,V\, é o número de vértices, \,A\, é o número de arestas e \,F\, é o número de faces do poliedro.
Informações dadas / observações úteis (extraídas do enunciado):
  • O enunciado sugere duplicar/treplicar uma figura com “buraco(s)”, ou seja, produzir poliedros com mais buracos (alças).
  • Não há números fixos para V,A,F; precisamos descrever uma construção que, para cada k, produza um poliedro com o valor pedido.

Passo 2

Conceito chave (a ferramenta que vamos usar): a característica de Euler. Definição e propriedade importante:
  • Definimos a característica de Euler por
\chi = V - A + F.
  • Para uma superfície fechada orientável que tem g “alças” (ou seja, gênero g, o número de buracos do tipo toro), vale a fórmula clássica
\chi = 2 - 2g.
Explicação intuitiva: cada vez que se acrescenta uma alça (um “handle”, como ligar dois pontos por um túnel) a uma superfície fechada, a característica de Euler diminui em 2. Isso decorre do fato de que a operação topológica de conectar duas regiões por um tubo altera \chi em -2. Vamos usar essa propriedade para construir o poliedro pedido.

Passo 3

Relacionar o objetivo com o gênero: queremos \chi = -2k. Usando \chi = 2 - 2g obtemos
2 - 2g = -2k \quad\Longrightarrow\quad g = k + 1.
Conclusão: para obter V - A + F = -2k precisamos construir um poliedro cuja superfície tenha gênero g=k+1, ou seja, um poliedro com k+1 alças (buracos do tipo toro).

Passo 4

Construção de uma alça elementar (explicação prática e contagem): vou mostrar como fazer uma única alça a partir de um cubo — isso é fácil de visualizar e de contar vértices/arestas/faces, e serve como “bloco” para repetir.
  • Comece com um cubo convexo (poliedro homeomorfo à esfera). Para o cubo vale
V=8,\qquad A=12,\qquad F=6,\qquad \text{logo}\qquad \chi=8-12+6=2.
  • Para criar uma alça: escolha duas faces quadradas disjuntas do cubo (por exemplo faces opostas ou quaisquer duas faces que não toquem). Remova as interioridades dessas duas faces (assim ficam dois “buracos” circulares). Depois conecte as duas fronteiras respectivas por um “tubo” composto por quatro faces retangulares (um band formado por 4 quadriláteros), colando cada retângulo ao redor das duas fronteiras correspondentes. Este tubo usa os vértices das fronteiras já existentes (não cria novos vértices), e inclui exatamente 4 novas arestas verticais que ligam os vértices correspondentes das duas fronteiras.
  • Contagem ao longo do processo:
    • Ao remover as duas faces do cubo: F diminui em 2. Então temporariamente \chi passa de 2 para 0.
    • Ao colar o tubo de 4 retângulos: adicionam-se 4 faces e 4 arestas novas, sem acrescentar vértices novos. Assim a variação total dessa etapa é \Delta V=0,\\ \Delta A=+4,\\ \Delta F=+4, o que dá \Delta\chi=0-4+4=0. Portanto, o efeito combinado (remover duas faces e fechar com o tubo) sobre \chi foi -2.
  • Resultado: o cubo com uma alça tem
\chi = 2 - 2 = 0,
ou seja, é um toro poligonal (gênero 1). Esse é exatamente o exemplo de “um buraco”.

Passo 5

Como repetir para obter k+1 alças: se cada alça diminui \chi em 2, então adicionando \,h\, alças a uma esfera (cuboservidor) obtemos
\chi = 2 - 2h.
Para atingir \chi = -2k precisamos de h = k+1 alças (conforme achamos em

Passo 6

\chi_{\text{final}} = 2 - 2(k+1) = -2k.

Passo 7

Descrição construtiva clara e executável (passo-a-passo que dá para fazer na prova ou desenhar):
  1. Para dado k\ge 0, fixe h=k+1.
  2. Pegue um cubo (ou qualquer poliedro convexo simples) como pólide inicial.
  3. Escolha h pares de faces disjuntas do cubo (é fácil garantir as escolhas se as faces forem suficientemente separadas; se o cubo não tiver pares disjuntos suficientes, comece por um poliedro com mais faces, por exemplo um prisma com muitas faces — o argumento é o mesmo).
  4. Para cada par escolhido: remova a interioridade das duas faces (abre-se duas “janelas”) e una as duas fronteiras por um “tubo” formando um anel de quatro faces (quatro quadriláteros) que conectam vértice a vértice as duas fronteiras. Faça isso para todos os h pares, obtendo h alças.
  5. O poliedro resultante é fechado (sem borda) e tem exatamente h=k+1 alças, logo sua característica de Euler é
V - A + F = 2 - 2h = 2 - 2(k+1) = -2k.
Observação prática: se preferir, pode sempre começar com um poliedro com mais faces (um prisma com base poligonal de muitas faces) para ter espaço para emparelhar faces sem interferência.

Passo 8

Justificação topológica curta (por que isso funciona sempre): a operação “remover uma pequena face (disco) e colar um tubo ligando duas dessas janelas” é, topologicamente, o procedimento de formar a soma conexa com um toro (ou de agregar uma alça). A fórmula geral da soma conexa dá
\chi(S_1\# S_2)=\chi(S_1)+\chi(S_2)-2.
Tomando S_1 como a esfera ( \chi=2) e S_2 como h cópias do toro ( \chi=0 cada), depois de somar h tori obtém-se \chi=2-2h. Assim a construção poligonal descrita implementa concretamente essa soma conexa poligonalmente.

Passo 9

Exemplos concretos pequenos para fixar a ideia:
  • k=0: h=1. Faça uma alça no cubo. O poliedro resultante (um toro poliédrico) tem \chi=0. Logo V-A+F=0.
  • k=1: h=2. Faça duas alças (dois túneis) no cubo, o que dá \chi=-2. Logo V-A+F=-2.
  • Em geral, repetir o procedimento k+1 vezes dá \chi=-2k.

Resposta

Para cada inteiro não-negativo \,k\,: comece com um cubo (ou outro poliedro convexo) e adicione k+1 alças (buracos) da seguinte forma — para cada alça, remova duas faces disjuntas e una suas fronteiras por um tubo formado por quatro faces quadriláteras. O poliedro resultante terá k+1 alças e, portanto,
V - A + F = 2 - 2(k+1) = -2k.

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