Para cada item abaixo, determine os valores de a com os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
x+2 y-3 z=4
\begin{aligned}x+2 y & =1 \\\ 2 x+\left(a^{2}-5\right) y & =a-1\end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema com as três equações abaixo (todas as expressões matemáticas estão exatamente como no enunciado):
x+2y-3z=4
x+2y=1
2x+\left(a^{2}-5\right)y=a-1
A pergunta é: para quais valores de a o sistema
  • não tem solução;
  • tem exatamente uma solução;
  • tem uma infinidade de soluções.
Vou listar também as informações relevantes que já estão explícitas:
  • Há três incógnitas: x,y,z.
  • A segunda equação não envolve z.
  • A terceira equação depende de a.
  • O objetivo é classificar os valores de a de acordo com o número de soluções do sistema.

Passo 2

Vamos usar a relação entre as equações para simplificar o sistema antes de aplicar critérios algébricos gerais.
Observe que a primeira e a segunda equação compartilham o mesmo membro x+2y. Subtraindo a segunda da primeira obtemos:
(x+2y-3z)-(x+2y)=4-1.
No lado esquerdo os termos x+2y cancelam, restando
-3z = 3.
Portanto
z = -1.
Comentário pedagógico: isso significa que, sempre que as duas primeiras equações forem satisfeitas, a primeira determina imediatamente z=-1. Ou seja, desde que exista solução para x e y vindos das duas últimas equações, o valor de z fica fixado em -1. Assim o problema reduz-se a resolver as duas equações em x e y:
\begin{cases} x+2y=1,\\[4pt] 2x+\left(a^{2}-5\right)y=a-1. \end{cases}]

Passo 3

Escrevemos o sistema 2\times2 para x,y na forma matricial e calculamos o determinante para saber quando há solução única:
Coeficientes:
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 2 & a^{2}-5\end{pmatrix},\qquad \text{vetor RHS }=\begin{pmatrix}1\\[4pt] a-1\end{pmatrix}.
O determinante de A é
D=\det(A)=1\cdot(a^{2}-5)-2\cdot2 = a^{2}-5-4 = a^{2}-9.
Fatorando:
D = a^{2}-9=(a-3)(a+3).
Explicação didática curta: para um sistema linear 2\times2, se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero então existe uma única solução; se o determinante for zero então as equações são linearmente dependentes e pode haver ou nenhuma solução — é preciso comparar os termos do lado direito para decidir entre compatibilidade ou contradição.]

Passo 4

Caso D\neq 0. Isso ocorre quando a^{2}-9\neq0, ou seja quando a\neq \pm 3.
Nesse caso a matriz dos coeficientes é invertível e o sistema em x,y tem exatamente uma solução. Como já vimos no

Passo 5

A título de reforço e para ver como seria a solução explicitamente (útil numa prova), calculamos por Regra de Cramer:
D_x=\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] a-1 & a^{2}-5\end{pmatrix}=1\cdot(a^{2}-5)-2\cdot(a-1)=a^{2}-2a-3,
D_y=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & a-1\end{pmatrix}=1\cdot(a-1)-1\cdot2=a-3.
Portanto, para a\neq\pm3,
x=\frac{D_x}{D}=\frac{a^{2}-2a-3}{a^{2}-9}=\frac{a+1}{a+3}, \qquad y=\frac{D_y}{D}=\frac{a-3}{a^{2}-9}=\frac{1}{a+3},
e lembrando z=-1. (As simplificações de frações foram feitas fatorando numerador e denominador.)]

Passo 6

Caso D=0. Isso ocorre quando a^{2}-9=0, i.e. a=3 ou a=-3. Temos de verificar compatibilidade das equações em cada subcaso.
  • Para a=3:
    Substituindo em (3) obtemos
2x+(3^{2}-5)y=2x+4y=3-1=2.
Mas a segunda equação é x+2y=1. Multiplicando esta última por 2 dá 2x+4y=2, que é exatamente a terceira equação quando a=3. Logo as duas equações para x,y são dependentes (a terceira é múltiplo da segunda) e não há contradição. Isso significa que existe um grau de liberdade: infinitas soluções para x,y (uma família linear, por exemplo tomar y=t, x=1-2t). Como z foi fixado em -1 pelo

Passo 7

  • Para a=-3:
    Substituindo em (3) obtemos
2x+((-3)^{2}-5)y=2x+4y=(-3)-1=-4.
Mas, novamente, a segunda equação multiplicada por 2 dá 2x+4y=2. Agora vemos que as duas equações para x,y seriam
2x+4y=2\quad\text{e}\quad 2x+4y=-4,
o que é uma contradição (não existe (x,y) que satisfaça as duas ao mesmo tempo). Portanto, para a=-3 o sistema em x,y é incompatível e assim o sistema original não tem solução.

Passo 8

Resumo da classificação obtida:
  • Se a\neq\pm3 então D\neq0 e o sistema tem exatamente uma solução (essa solução é \displaystyle x=\frac{a+1}{a+3},\; y=\frac{1}{a+3},\; z=-1).
  • Se a=3 então o sistema tem uma infinidade de soluções (parâmetro em x,y, sempre com z=-1).
  • Se a=-3 então o sistema não tem solução (incompatibilidade entre as equações).

Resposta

Sem solução: a=-3
Exatamente uma solução: a\neq\pm3
Infinitas soluções: a=3

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