Para cada item abaixo, determine os valores de
com os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema com as três equações abaixo (todas as expressões matemáticas estão exatamente como no enunciado):
A pergunta é: para quais valores de
o sistema
- não tem solução;
- tem exatamente uma solução;
- tem uma infinidade de soluções.
Vou listar também as informações relevantes que já estão explícitas:
- Há três incógnitas:
. - A segunda equação não envolve
. - A terceira equação depende de
. - O objetivo é classificar os valores de
de acordo com o número de soluções do sistema.
Passo 2
Vamos usar a relação entre as equações para simplificar o sistema antes de aplicar critérios algébricos gerais.
Observe que a primeira e a segunda equação compartilham o mesmo membro
. Subtraindo a segunda da primeira obtemos:
No lado esquerdo os termos
cancelam, restando
Portanto
Comentário pedagógico: isso significa que, sempre que as duas primeiras equações forem satisfeitas, a primeira determina imediatamente
. Ou seja, desde que exista solução para
e
vindos das duas últimas equações, o valor de
fica fixado em
. Assim o problema reduz-se a resolver as duas equações em
e
:
Passo 3
Escrevemos o sistema
para
na forma matricial e calculamos o determinante para saber quando há solução única:
Coeficientes:
Coeficientes:
O determinante de
é
Fatorando:
Explicação didática curta: para um sistema linear
, se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero então existe uma única solução; se o determinante for zero então as equações são linearmente dependentes e pode haver ou nenhuma solução — é preciso comparar os termos do lado direito para decidir entre compatibilidade ou contradição.]
Passo 4
Caso
. Isso ocorre quando
, ou seja quando
.
Nesse caso a matriz dos coeficientes é invertível e o sistema em tem exatamente uma solução. Como já vimos no
Nesse caso a matriz dos coeficientes é invertível e o sistema em
Passo 5
A título de reforço e para ver como seria a solução explicitamente (útil numa prova), calculamos por Regra de Cramer:
Portanto, para
,
e lembrando
. (As simplificações de frações foram feitas fatorando numerador e denominador.)]
Passo 6
Caso
. Isso ocorre quando
, i.e.
ou
. Temos de verificar compatibilidade das equações em cada subcaso.
- Para
:
Substituindo em (3) obtemos
Mas a segunda equação é
. Multiplicando esta última por 2 dá
, que é exatamente a terceira equação quando
. Logo as duas equações para
são dependentes (a terceira é múltiplo da segunda) e não há contradição. Isso significa que existe um grau de liberdade: infinitas soluções para
(uma família linear, por exemplo tomar
,
). Como
foi fixado em
pelo
Passo 7
- Para
:
Substituindo em (3) obtemos
Mas, novamente, a segunda equação multiplicada por 2 dá
. Agora vemos que as duas equações para
seriam
o que é uma contradição (não existe
que satisfaça as duas ao mesmo tempo). Portanto, para
o sistema em
é incompatível e assim o sistema original não tem solução.
Passo 8
Resumo da classificação obtida:
- Se
então e o sistema tem exatamente uma solução (essa solução é ). - Se
então o sistema tem uma infinidade de soluções (parâmetro em , sempre com ). - Se
então o sistema não tem solução (incompatibilidade entre as equações).
Resposta
Sem solução:
Exatamente uma solução:
Infinitas soluções: