Considere as seguintes curvas regulares:
Reparametrize essas curvas por comprimento de arco, obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torção de cada curva.
\gamma(t)=\left(e^{t}, e^{-t}, \sqrt{2} t\right), t \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá a curva regular
\gamma(t)=\bigl(e^{t},\,e^{-t},\,\sqrt{2}\,t\bigr),\qquad t\in\mathbb{R},
e pede quatro coisas:
  • Reparametrizar a curva por comprimento de arco (ou seja, encontrar \alpha(s)=\gamma(t(s)) com s comprimento de arco).
  • Obter o triedro de Frenet: os vetores unitários tangente \,T, normal principal \,N e binormal \,B.
  • Calcular a curvatura \kappa.
  • Calcular a torção \tau.
Informações dadas relevantes:
  • As componentes de \gamma em função de t são \gamma_1(t)=e^t, \gamma_2(t)=e^{-t}, \gamma_3(t)=\sqrt{2}\,t.
  • A curva é definida em todo \mathbb{R} (é regular, pois a derivada nunca é o vetor zero).

Passo 2

Calcular as derivadas primeiras e a velocidade (norma da derivada):
\gamma'(t)=\bigl(e^{t},\,-e^{-t},\,\sqrt{2}\bigr).
A velocidade é
\|\gamma'(t)\|=\sqrt{(e^{t})^{2}+(-e^{-t})^{2}+(\sqrt{2})^{2}} =\sqrt{e^{2t}+e^{-2t}+2}.
Observação útil (identidade algébrica): e^{2t}+e^{-2t}+2=(e^{t}+e^{-t})^{2}.
Portanto podemos simplificar:
\|\gamma'(t)\|=e^{t}+e^{-t}.
Como e^{t}+e^{-t}>0 para todo t, a velocidade é essa expressão sem valor absoluto.

Passo 3

Calcular o comprimento de arco a partir de um parâmetro de referência (tomamos t=0 como referência). O comprimento de arco desde 0 até t é
s(t)=\int_{0}^{t}\|\gamma'(u)\|\,du=\int_{0}^{t}\bigl(e^{u}+e^{-u}\bigr)\,du =\bigl(e^{u}-e^{-u}\bigr)\Big|_{0}^{t}=e^{t}-e^{-t}.
Note que s(t)=e^{t}-e^{-t}=2\operatorname{sinh} t. Como função de t, s é estritamente crescente e bijetora \mathbb{R}\to\mathbb{R}, logo podemos inverter:
t(s)=\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{s}{2}\right).
A reparametrização por comprimento de arco (com origem em t=0) é
\alpha(s)=\gamma\bigl(t(s)\bigr) =\Bigl(e^{t(s)},\,e^{-t(s)},\,\sqrt{2}\,t(s)\Bigr), \qquad t(s)=\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{s}{2}\right).
É útil expressar algumas quantidades em termos de s. Como s=2\operatorname{sinh} t segue
\operatorname{cosh} t=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}t}=\sqrt{1+\frac{s^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{4+s^{2}}}{2},
e então
e^{t}=\operatorname{cosh} t+\operatorname{sinh} t=\frac{\sqrt{4+s^{2}}+s}{2},\qquad e^{-t}=\operatorname{cosh} t-\operatorname{sinh} t=\frac{\sqrt{4+s^{2}}-s}{2}.
Também a velocidade escrita em t fica \|\gamma'(t)\|=e^{t}+e^{-t}=2\operatorname{cosh} t=\sqrt{4+s^{2}}. Vamos usar essas formas quando for conveniente.

Passo 4

Obter o vetor tangente unitário T. Pelo cálculo do passo 2,
T(t)=\frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|} =\frac{1}{e^{t}+e^{-t}}\bigl(e^{t},\,-e^{-t},\,\sqrt{2}\bigr).
Em termos de s (usando v:=\|\gamma'(t)\|= \sqrt{4+s^{2}} e t=t(s)):
T(s)=\frac{1}{\sqrt{4+s^{2}}}\Bigl(\frac{\sqrt{4+s^{2}}+s}{2},\, -\frac{\sqrt{4+s^{2}}-s}{2},\,\sqrt{2}\Bigr).
Se desejar, cada componente pode ser simplificada, mas a forma acima já é explícita e correta.

Passo 5

Calcular a curvatura \kappa. Vou usar a fórmula para parâmetro arbitrário:
\kappa=\frac{\|\gamma'\times\gamma''\|}{\|\gamma'\|^{3}}.
Primeiro compute \gamma'':
\gamma''(t)=\bigl(e^{t},\,e^{-t},\,0\bigr).
O produto vetorial é (determinante componente a componente)
\gamma'(t)\times\gamma''(t)=\bigl(-\sqrt{2}\,e^{-t},\;\sqrt{2}\,e^{t},\;2\bigr).
Calcule a norma:
\|\gamma'\times\gamma''\|=\sqrt{2e^{-2t}+2e^{2t}+4} =\sqrt{2\bigl(e^{2t}+e^{-2t}+2\bigr)} =\sqrt{2}\,(e^{t}+e^{-t}).
Logo
\kappa(t)=\frac{\sqrt{2}\,(e^{t}+e^{-t})}{(e^{t}+e^{-t})^{3}} =\frac{\sqrt{2}}{(e^{t}+e^{-t})^{2}}.
Em termos de s (usando \,e^{t}+e^{-t}=\sqrt{4+s^{2}}\,):
\kappa(s)=\frac{\sqrt{2}}{( \sqrt{4+s^{2}} )^{2}} =\frac{\sqrt{2}}{4+s^{2}}.

Passo 6

Calcular a torção \tau. Uso a fórmula com determinante (parâmetro arbitrário):
\tau=\frac{\det\bigl(\gamma',\gamma'',\gamma'''\bigr)}{\|\gamma'\times\gamma''\|^{2}}.
Já temos \gamma'(t) e \gamma''(t). Calcule \gamma'''(t):
\gamma'''(t)=\bigl(e^{t},\,-e^{-t},\,0\bigr).
Calcule o triplo produto escalar (determinante):
\det\bigl(\gamma',\gamma'',\gamma'''\bigr) =\gamma'(t)\cdot\bigl(\gamma''(t)\times\gamma'''(t)\bigr).
Fazendo as contas (ou diretamente pelo cálculo mostrado):
\det\bigl(\gamma',\gamma'',\gamma'''\bigr)=-2\sqrt{2}.
Já sabemos \|\gamma'\times\gamma''\|^{2}=\bigl(\sqrt{2}\,(e^{t}+e^{-t})\bigr)^{2}=2\,(e^{t}+e^{-t})^{2}. Portanto
\tau(t)=\frac{-2\sqrt{2}}{2\,(e^{t}+e^{-t})^{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{(e^{t}+e^{-t})^{2}}.
Em termos de s:
\tau(s)=-\frac{\sqrt{2}}{4+s^{2}}.
Note a relação simples \tau(t)=-\kappa(t).

Passo 7

Obter o binormal B. Para qualquer parâmetro:
B(t)=\frac{\gamma'(t)\times\gamma''(t)}{\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\|} =\frac{1}{\sqrt{2}\,(e^{t}+e^{-t})}\bigl(-\sqrt{2}\,e^{-t},\;\sqrt{2}\,e^{t},\;2\bigr).
Simplificando:
B(t)=\frac{1}{e^{t}+e^{-t}}\bigl(-e^{-t},\;e^{t},\;\sqrt{2}\bigr).
Em termos de s (com v=\sqrt{4+s^{2}}):
B(s)=\frac{1}{\sqrt{4+s^{2}}}\Bigl(-\frac{\sqrt{4+s^{2}}-s}{2},\;\frac{\sqrt{4+s^{2}}+s}{2},\;\sqrt{2}\Bigr).

Passo 8

Obter a normal principal N. Pode-se usar N=\dfrac{1}{\kappa}\dfrac{dT}{ds}. Já que temos \kappa e podemos calcular dT/ds, mas aqui eu apresento a forma já simplificada que resulta das contas (verificável pelas derivadas):
N(t)=\frac{1}{e^{t}+e^{-t}}\Bigl(\sqrt{2},\;\sqrt{2},\;-(e^{t}-e^{-t})\Bigr).
Em termos de s (com v=\sqrt{4+s^{2}}):
N(s)=\frac{1}{\sqrt{4+s^{2}}}\Bigl(\sqrt{2},\;\sqrt{2},\;-s\Bigr).
Verificação rápida: \|N\|=1 e N é ortogonal a T.

Resposta

\alpha(s)=\gamma\bigl(t(s)\bigr) com \;t(s)=\operatorname{arsinh}\!\left(\dfrac{s}{2}\right)\; e
\alpha(s)=\Bigl(\dfrac{\sqrt{4+s^{2}}+s}{2},\;\dfrac{\sqrt{4+s^{2}}-s}{2},\;\sqrt{2}\,\operatorname{arsinh}\!\left(\dfrac{s}{2}\right)\Bigr).
T(s)=\frac{1}{\sqrt{4+s^{2}}}\Bigl(\dfrac{\sqrt{4+s^{2}}+s}{2},\;-\dfrac{\sqrt{4+s^{2}}-s}{2},\;\sqrt{2}\Bigr).
N(s)=\frac{1}{\sqrt{4+s^{2}}}\Bigl(\sqrt{2},\;\sqrt{2},\;-s\Bigr).
B(s)=\frac{1}{\sqrt{4+s^{2}}}\Bigl(-\dfrac{\sqrt{4+s^{2}}-s}{2},\;\dfrac{\sqrt{4+s^{2}}+s}{2},\;\sqrt{2}\Bigr).
\kappa(s)=\frac{\sqrt{2}}{4+s^{2}},\qquad \tau(s)=-\frac{\sqrt{2}}{4+s^{2}}.

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