Reparametrize essas curvas por comprimento de arco, obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torção de cada curva. \gamma(t)=\left(e^{t}, e^{-t}, \sqrt{2} t\right), t \in \mathbb{R}.
Note que s(t)=e^{t}-e^{-t}=2\operatorname{sinh} t. Como função de t, s é estritamente crescente e bijetora \mathbb{R}\to\mathbb{R}, logo podemos inverter:
Também a velocidade escrita em t fica \|\gamma'(t)\|=e^{t}+e^{-t}=2\operatorname{cosh} t=\sqrt{4+s^{2}}. Vamos usar essas formas quando for conveniente.
Passo 4
Obter o vetor tangente unitário T. Pelo cálculo do passo 2,
Obter a normal principal N. Pode-se usar N=\dfrac{1}{\kappa}\dfrac{dT}{ds}. Já que temos \kappa e podemos calcular dT/ds, mas aqui eu apresento a forma já simplificada que resulta das contas (verificável pelas derivadas):