Prove que não existe um poliedro satisfazendo a fórmula de Euler com exatamente 7 arestas. Você consegue dizer o mesmo para algum outro número de arestas? Dica: utilize as desigualdades da demonstraçiõo do Teorema 4.8 .

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e o que está disponível.
  • O enunciado pede: provar que não existe um poliedro que satisfaça a fórmula de Euler e que tenha exatamente 7 arestas.
  • Pergunta adicional: é possível afirmar algo semelhante para outros números de arestas?
  • Informações que podemos usar (essas desigualdades são as que a dica menciona, vindas da prova do Teorema 4.8 sobre poliedros / grafos planos):
    • Se um poliedro tem V vértices, E arestas e F faces, então vale a fórmula de Euler V - E + F = 2.
    • Cada face tem pelo menos 3 arestas (faces são polígonos com \ge 3 lados), e cada aresta pertence a exatamente 2 faces. Contando arestas por faces obtemos 3F \le 2E.
    • Cada vértice tem grau (número de arestas incidentes) pelo menos 3 em um poliedro simples, e contando arestas por vértices obtemos 3V \le 2E.
Estas duas últimas desigualdades serão usadas para limitar V e F em função de E. A resolução começa agora.

Passo 2

Explico por que vale 3F \le 2E e 3V \le 2E — isto é importante para entender como usar essas desigualdades.
  • Pensando nas faces: cada face tem pelo menos 3 arestas, então ao somar “número de lados” de todas as faces obtém-se pelo menos 3F. Mas cada aresta aparece exatamente em duas faces (uma de cada lado). Então a soma dos números de lados das faces é igual a 2E. Logo 3F \le 2E.
  • Pensando nos vértices: cada vértice tem grau pelo menos 3 (não existem vértices de grau 1 ou 2 num poliedro convexo simples), então ao somar os graus de todos os vértices obtemos pelo menos 3V. Mas a soma dos graus dos vértices é 2E (cada aresta contribui 2 ao total de graus). Portanto 3V \le 2E.
Estas desigualdades permitem transformar limites sobre V e F em limites envolvendo apenas E.

Passo 3

Transformo as desigualdades em limites explícitos para V e F.
  • De 3F \le 2E segue F \le \frac{2E}{3}.
  • De 3V \le 2E segue V \le \frac{2E}{3}.
Somando essas duas desigualdades temos
V + F \le \frac{4E}{3}.
Mas pela fórmula de Euler temos V+F = E+2. Vou combinar essas duas expressões.

Passo 4

Combino Euler com o limite encontrado para obter uma desigualdade em E.
  • Da fórmula de Euler: V + F = E + 2.
  • Pela desigualdade acima: E + 2 = V + F \le \frac{4E}{3}.
  • Multiplicando por 3 e reorganizando: 3E + 6 \le 4E \quad\Longrightarrow\quad 6 \le E.
Portanto qualquer poliedro que satisfaça as hipóteses (as usadas para obter 3V\le2E e 3F\le2E) deve ter obrigatoriamente
E \ge 6.
Isto já diz que não existem poliedros com menos de 6 arestas. Agora trato do caso E=7.

Passo 5

Mostro diretamente que E=7 é impossível, usando os limites inteiros mais fortes (pisando em piso/parte inteira).
  • Se E=7, então pela fórmula de Euler V + F = E + 2 = 9.
  • Pela desigualdade F \le \dfrac{2E}{3} obtém-se F \le \frac{2\cdot 7}{3} = \frac{14}{3}.Como F é inteiro, isso implica F \le 4.
  • Analogamente, V \le \dfrac{2E}{3} = \dfrac{14}{3} V \le 4.
  • Somando as duas desigualdades inteiras: V + F \le 4 + 4 = 8.
Isto contradiz a igualdade necessária V+F=9. Logo não existe poliedro com E=7.

Passo 6

Resumo do que já conseguimos e extensão para outros números de arestas.
  • Concluímos que não existem poliedros com E \le 5 (pois E\ge6 sempre) e também não existe poliedro com E=7.
  • Pergunta: e para E\ge 8? Podemos mostrar que muitos (na verdade todos a partir de certo ponto) existem, dando exemplos e uma receita de construção:
    • E=6: tetraedro. Tem V=4, E=6, F=4 e satisfaz Euler.
    • E=8: pirâmide quadrangular (pirâmide sobre um quadrado). Tem V=5, E=8, F=5.
    • E=9: prisma triangular. Tem V=6, E=9, F=5.
    • E=10: pirâmide pentagonal. Tem V=6, E=10, F=6.
    • E=11: exemplo construtivo: pegar a pirâmide quadrangular ( E=8) e colar (colar = identificar) uma tetraedro numa das faces triangulares. Ao colar um tetraedro (que tem E=6) numa face triangular (essa face tem 3 arestas), o número de arestas do poliedro resultante fica E_{\text{novo}} = 8 + 6 - 3 = 11,e a operação preserva a propriedade de poliedro que satisfaz Euler. Assim existe poliedro com E=11.
  • Observação geral de construção: colar um tetraedro numa face triangular de qualquer poliedro aumenta o número de arestas em 3. Assim, a partir de exemplos com E=8,9,10,11 e aplicando a operação “colar tetraedros” adicionando 3 arestas por tetraedro colado, obtém-se poliedros com todos os números E maiores ou iguais a 8 (porque 8,9,10,11 representam as três classes mod 3 e, somando 3 repetidamente, alcança-se qualquer inteiro \ge 8). Portanto não há mais restrição aritmética depois de 7: todos os E\ge 8 ocorrem.

Passo 7

Conclusões finais e motivação prática (um empurrãozinho amigo).
  • A razão pela qual 7 é impossível é essencialmente aritmética: as desigualdades que vêm de “cada face tem ≥3 lados” e “cada vértice tem grau ≥3” são fortes o suficiente, quando combinadas com Euler, para forçar E\ge 6 e para excluir o caso E=7 por uma contradição inteira imediata.
  • Para estudar esse tipo de problema na prova: memorize as duas desigualdades 3F \le 2E,\qquad 3V \le 2E,e a forma de combiná-las com Euler V-E+F=2. Isso resolve rapidamente questões de impossibilidade por contagem.

Resposta

Não existe poliedro com E=7 arestas.
Também não existem poliedros com E\le 5.
Existem poliedros para E=6 e para todo E\ge 8 (por exemplos explícitos e pelo procedimento de colar tetraedros para aumentar em 3 arestas).

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