Prove que não existe um poliedro satisfazendo a fórmula de Euler com exatamente 7 arestas. Você consegue dizer o mesmo para algum outro número de arestas? Dica: utilize as desigualdades da demonstraçiõo do Teorema 4.8 .
Passo 1
Vou deixar claro o que o problema pede e o que está disponível.
- O enunciado pede: provar que não existe um poliedro que satisfaça a fórmula de Euler e que tenha exatamente
arestas. - Pergunta adicional: é possível afirmar algo semelhante para outros números de arestas?
- Informações que podemos usar (essas desigualdades são as que a dica menciona, vindas da prova do Teorema 4.8 sobre poliedros / grafos planos):
- Se um poliedro tem
vértices, arestas e faces, então vale a fórmula de Euler - Cada face tem pelo menos
arestas (faces são polígonos com lados), e cada aresta pertence a exatamente faces. Contando arestas por faces obtemos - Cada vértice tem grau (número de arestas incidentes) pelo menos
em um poliedro simples, e contando arestas por vértices obtemos
- Se um poliedro tem
Estas duas últimas desigualdades serão usadas para limitar
e
em função de
. A resolução começa agora.
Passo 2
Explico por que vale
e
— isto é importante para entender como usar essas desigualdades.
- Pensando nas faces: cada face tem pelo menos
arestas, então ao somar “número de lados” de todas as faces obtém-se pelo menos . Mas cada aresta aparece exatamente em duas faces (uma de cada lado). Então a soma dos números de lados das faces é igual a . Logo - Pensando nos vértices: cada vértice tem grau pelo menos
(não existem vértices de grau ou num poliedro convexo simples), então ao somar os graus de todos os vértices obtemos pelo menos . Mas a soma dos graus dos vértices é (cada aresta contribui 2 ao total de graus). Portanto
Estas desigualdades permitem transformar limites sobre
e
em limites envolvendo apenas
.
Passo 3
Transformo as desigualdades em limites explícitos para
e
.
- De
segue - De
segue
Somando essas duas desigualdades temos
Mas pela fórmula de Euler temos
. Vou combinar essas duas expressões.
Passo 4
Combino Euler com o limite encontrado para obter uma desigualdade em
.
- Da fórmula de Euler:
- Pela desigualdade acima:
- Multiplicando por
e reorganizando:
Portanto qualquer poliedro que satisfaça as hipóteses (as usadas para obter
e
) deve ter obrigatoriamente
Isto já diz que não existem poliedros com menos de
arestas. Agora trato do caso
.
Passo 5
Mostro diretamente que
é impossível, usando os limites inteiros mais fortes (pisando em piso/parte inteira).
- Se
, então pela fórmula de Euler - Pela desigualdade
obtém-se Como é inteiro, isso implica - Analogamente,
dá - Somando as duas desigualdades inteiras:
Isto contradiz a igualdade necessária
. Logo não existe poliedro com
.
Passo 6
Resumo do que já conseguimos e extensão para outros números de arestas.
- Concluímos que não existem poliedros com
(pois sempre) e também não existe poliedro com . - Pergunta: e para
? Podemos mostrar que muitos (na verdade todos a partir de certo ponto) existem, dando exemplos e uma receita de construção: -
: tetraedro. Tem , , e satisfaz Euler. -
: pirâmide quadrangular (pirâmide sobre um quadrado). Tem , , . -
: prisma triangular. Tem , , . -
: pirâmide pentagonal. Tem , , . -
: exemplo construtivo: pegar a pirâmide quadrangular ( ) e colar (colar = identificar) uma tetraedro numa das faces triangulares. Ao colar um tetraedro (que tem ) numa face triangular (essa face tem arestas), o número de arestas do poliedro resultante fica e a operação preserva a propriedade de poliedro que satisfaz Euler. Assim existe poliedro com .
-
- Observação geral de construção: colar um tetraedro numa face triangular de qualquer poliedro aumenta o número de arestas em
. Assim, a partir de exemplos com e aplicando a operação “colar tetraedros” adicionando arestas por tetraedro colado, obtém-se poliedros com todos os números maiores ou iguais a (porque representam as três classes mod e, somando repetidamente, alcança-se qualquer inteiro ). Portanto não há mais restrição aritmética depois de : todos os ocorrem.
Passo 7
Conclusões finais e motivação prática (um empurrãozinho amigo).
- A razão pela qual
é impossível é essencialmente aritmética: as desigualdades que vêm de “cada face tem ≥3 lados” e “cada vértice tem grau ≥3” são fortes o suficiente, quando combinadas com Euler, para forçar e para excluir o caso por uma contradição inteira imediata. - Para estudar esse tipo de problema na prova: memorize as duas desigualdades
e a forma de combiná-las com Euler . Isso resolve rapidamente questões de impossibilidade por contagem.
Resposta
Não existe poliedro com
arestas.
Também não existem poliedros com .
Existem poliedros para e para todo
(por exemplos explícitos e pelo procedimento de colar tetraedros para aumentar em
arestas).
Também não existem poliedros com
Existem poliedros para