Em cada item abaixo encontrar os subespaços U+W e U \cap W, onde U, W são subespaços do espaço vetorial V indicado. U=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & 0 \\\\ 0 & d\end{array}\right] ; a d \in \mathbb{R}\right\}, \quad W=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & c \\\\ 0 & d\end{array}\right] ; a, c, d \in \mathbb{R}\right\}, \quad V=\mathcal{M}(2,2)
Passo 1
O enunciado define os subespaços de V=\mathcal M(2,2):
Para achar U\cap W, observamos que uma matriz \displaystyle X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}
precisa satisfazer simultaneamente as duas formas:
Em U: x_{12}=0 e x_{21}=0.
Em W: x_{21}=0 (já garantido) e x_{12} livre.
A interseção exige x_{12}=0. Logo
U\cap W =\Bigl\{\begin{pmatrix}a&0\\\ 0&d\end{pmatrix}:a,d\in\mathbb R\Bigr\} =U.
Passo 3
Para U+W, tomamos
u=\begin{pmatrix}a_1&0\\\ 0&d_1\end{pmatrix}\in U, \quad w=\begin{pmatrix}a_2&c\\\ 0&d_2\end{pmatrix}\in W.