Em cada item abaixo encontrar os subespaços U+W e U \cap W, onde U, W são subespaços do espaço vetorial V indicado.
U=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & 0 \\\\ 0 & d\end{array}\right] ; a d \in \mathbb{R}\right\}, \quad W=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & c \\\\ 0 & d\end{array}\right] ; a, c, d \in \mathbb{R}\right\}, \quad V=\mathcal{M}(2,2)

Passo 1

O enunciado define os subespaços de V=\mathcal M(2,2):
U=\Bigl\{\begin{pmatrix}a&0\\\ 0&d\end{pmatrix}:a,d\in\mathbb R\Bigr\}, \quad W=\Bigl\{\begin{pmatrix}a&c\\\ 0&d\end{pmatrix}:a,c,d\in\mathbb R\Bigr\}.
Queremos determinar
U\cap W=\{X\in V:X\in U\text{ e }X\in W\}, \quad U+W=\{u+w:u\in U,\;w\in W\}.

Passo 2

Para achar U\cap W, observamos que uma matriz \displaystyle X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}
precisa satisfazer simultaneamente as duas formas:
  • Em U: x_{12}=0 e x_{21}=0.
  • Em W: x_{21}=0 (já garantido) e x_{12} livre.
    A interseção exige x_{12}=0. Logo
U\cap W =\Bigl\{\begin{pmatrix}a&0\\\ 0&d\end{pmatrix}:a,d\in\mathbb R\Bigr\} =U.

Passo 3

Para U+W, tomamos
u=\begin{pmatrix}a_1&0\\\ 0&d_1\end{pmatrix}\in U, \quad w=\begin{pmatrix}a_2&c\\\ 0&d_2\end{pmatrix}\in W.
Então
u+w =\begin{pmatrix}a_1+a_2&c\\\ 0&d_1+d_2\end{pmatrix}
é uma matriz qualquer da forma \begin{pmatrix}a&c\\\ 0&d\end{pmatrix}.
Além disso U\subset W, de modo que toda soma já está em W. Portanto
U+W =W =\Bigl\{\begin{pmatrix}a&c\\\ 0&d\end{pmatrix}:a,c,d\in\mathbb R\Bigr\}.

Resposta

U\cap W=\{\begin{pmatrix}a&0\\\ 0&d\end{pmatrix}:a,d\in\mathbb R\} U+W=\{\begin{pmatrix}a&c\\\ 0&d\end{pmatrix}:a,c,d\in\mathbb R\}

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