Verifique se cada subconjunto S do espaço vetorial V é L.I. ou L.D.
(b) S=\left\{\left(1+t-t^{2}\right),\left(2+5 t-9 t^{2}\right)\right\}, V=P_{2}(\mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial V = P_{2}(\mathbb{R}) e o subconjunto
S = \{\,p_{1}(t)=1 + t - t^{2},\;p_{2}(t)=2 + 5t - 9t^{2}\}.
Queremos verificar se S é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.), usando a definição: uma combinação linear a\,p_{1}+b\,p_{2}=0 só admite a solução trivial a=b=0 em caso de independência.
Passo 2
Escrevemos a combinação linear genérica igual ao polinômio nulo:
a\,(1+t-t^{2}) \;+\; b\,(2+5t-9t^{2}) \;=\; 0.
Isso significa que o resultado é o polinômio identicamente zero, ou seja, todos os coeficientes das potências de t devem ser nulos.
Passo 3
Comparando coeficientes de t^{0}, t^{1} e t^{2} no membro esquerdo, obtemos o sistema
\begin{cases} a + 2b = 0,\\\ a + 5b = 0,\\\\ -\,a - 9b = 0. \end{cases}
Passo 4
Da primeira e da segunda equações subtraindo–as, vem
(a+2b)-(a+5b) = -3b = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = 0.
Substituindo b=0 em a+2b=0 dá a=0. A terceira equação também é satisfeita por a=b=0. Logo, a única solução é a combinação trivial.
Passo 5
Como só existe a solução trivial a=b=0, concluímos que os vetores (polinômios) são linearmente independentes.