Verifique, se \mathrm{V}=\mathrm{U} \oplus \mathrm{W}, onde:
U=\left\{\left[\begin{array}{lll} a & b & 0 \\\\ 0 & 0 & f \\\\ 0 & 0 & i \end{array}\right] ; a, b, f, i \in \mathbb{R}\right\}, \quad W=\left\{\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & c \\\ d & e & 0 \\\ g & h & 0 \end{array}\right] ; c, d, e, g, h \in \mathbb{R}\right\}, \quad V=\mathcal{M}(3,3)
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial V=\mathcal{M}(3,3) de todas as matrizes reais 3\times3 e os subespaços
U=\Biggl\{\begin{pmatrix} a & b & 0\\\\ 0 & 0 & f\\\\ 0 & 0 & i \end{pmatrix};\;a,b,f,i\in\mathbb{R}\Biggr\},\quad W=\Biggl\{\begin{pmatrix} 0 & 0 & c\\\ d & e & 0\\\ g & h & 0 \end{pmatrix};\;c,d,e,g,h\in\mathbb{R}\Biggr\}.
Precisamos verificar que todo A\in V se escreve de modo único como A=U_0+W_0 com U_0\in U e W_0\in W, ou seja, que V=U\oplus W.
Passo 2
Mostramos primeiro que U\cap W=\{0\}.
Se X\in U\cap W então, por pertencer a U, só pode ter entradas possivelmente não nulas em (1,1),(1,2),(2,3),(3,3), e por pertencer a W só em (1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2).
Como esses índices são disjuntos, todas as entradas de X devem ser zero. Logo
U\cap W=\{0\}.
Passo 3
Para ver que U+W=V, tomemos uma matriz arbitrária
A=\begin{pmatrix} x_{11}&x_{12}&x_{13}\\\ x_{21}&x_{22}&x_{23}\\\ x_{31}&x_{32}&x_{33} \end{pmatrix}\in V.
Definimos
U_0=\begin{pmatrix} x_{11}&x_{12}&0\\\\ 0&0&x_{23}\\\\ 0&0&x_{33} \end{pmatrix}\in U, \quad W_0=\begin{pmatrix} 0&0&x_{13}\\\ x_{21}&x_{22}&0\\\ x_{31}&x_{32}&0 \end{pmatrix}\in W.
É claro que U_0+W_0=A. Assim todo A é soma de um elemento de U e um de W. Como já vimos que U\cap W=\{0\}, segue que a decomposição é única e
V = U\oplus W.
Resposta
Sim. De fato U\cap W=\{0\} e U+W=V, logo V=U\oplus W.