Definimos abaixo um conjunto de \mathbb{R}^{2} com as operações de adição de vetores e de multiplicação por escalar com as quais \mathbb{R}^{2} não é espaço vetorial. Mostre que esse conjunto não é espaço vetorial.
\begin{gathered} \left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, 2 y_{1}+2 y_{2}\right) \\\ a \cdot(x, y)=(a x, a y) \end{gathered}

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto \mathbb{R}^2 equipado com as operações
(x_{1}, y_{1}) + (x_{2}, y_{2}) = (\,x_{1}+x_{2},\,2y_{1}+2y_{2}\,)
a\cdot(x,y)=(ax,\,ay)
e pede para mostrar que isso não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Para tal, basta verificar que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha. Aqui vamos checar o axioma da existência de elemento neutro para a adição.

Passo 2

Suponha que exista um vetor 0_V=(e_1,e_2) que seja neutro para a soma, isto é, para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 devamos ter
(x,y)+(e_1,e_2)=(x,y).
Pela definição da soma isso significa
(x+e_1,\;2y+2e_2)=(x,y).

Passo 3

Igualando componente a componente obtemos o sistema
x+e_1 = x,
2y + 2e_2 = y.
Da primeira equação vem e_1=0. Da segunda temos
2y + 2e_2 = y \quad\Longrightarrow\quad 2e_2 = y - 2y = -y \quad\Longrightarrow\quad e_2 = -\tfrac y2.

Passo 4

O valor de e_2 depende de y, ou seja, não existe um par fixo (e_1,e_2) que funcione para todos os (x,y). Logo não há elemento neutro universal para a adição.

Resposta

O conjunto não é espaço vetorial porque falha a existência do vetor zero para a adição.

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