Definimos abaixo um conjunto de
com as operações de adição de vetores e de multiplicação por escalar com as quais
não é espaço vetorial. Mostre que esse conjunto não é espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
equipado com as operações
e pede para mostrar que isso não é um espaço vetorial sobre
. Para tal, basta verificar que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha. Aqui vamos checar o axioma da existência de elemento neutro para a adição.
Passo 2
Suponha que exista um vetor
que seja neutro para a soma, isto é, para todo
devamos ter
Pela definição da soma isso significa
Passo 3
Igualando componente a componente obtemos o sistema
Da primeira equação vem
. Da segunda temos
Passo 4
O valor de
depende de
, ou seja, não existe um par fixo
que funcione para todos os
. Logo não há elemento neutro universal para a adição.
Resposta
O conjunto não é espaço vetorial porque falha a existência do vetor zero para a adição.