Mostre que os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais
S=\left\{\left(x_{1}, 0, x_{3}, x_{4}\right): x \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{R}^{4})

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = \{(x_{1},0,x_{3},x_{4}) \mid x_{1},x_{3},x_{4}\in\mathbb{R}\}
e pede para mostrar que é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}. Para isso, vamos usar o critério de subespaço que exige:
  1. o vetor zero de \mathbb{R}^{4} pertence a S,
  2. S é fechado sob soma vetorial,
  3. S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero de \mathbb{R}^{4}, isto é, (0,0,0,0), pertence a S. Basta escolher
x_{1}=0,\quad x_{3}=0,\quad x_{4}=0,
o que dá (0,0,0,0)\in S.

Passo 3

Sejam \mathbf{u}=(u_{1},0,u_{3},u_{4}) e \mathbf{v}=(v_{1},0,v_{3},v_{4}) vetores quaisquer de S. Então
\mathbf{u}+\mathbf{v} =(u_{1}+v_{1},\,0+0,\,u_{3}+v_{3},\,u_{4}+v_{4}) =(u_{1}+v_{1},0,u_{3}+v_{3},u_{4}+v_{4}),
cuja segunda componente é zero, logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S. Assim, S é fechado sob soma.

Passo 4

Se \mathbf{u}=(u_{1},0,u_{3},u_{4})\in S e \lambda\in\mathbb{R}, então
\lambda\mathbf{u} =(\lambda u_{1},\,\lambda\cdot0,\,\lambda u_{3},\,\lambda u_{4}) =(\lambda u_{1},0,\lambda u_{3},\lambda u_{4}),
cuja segunda componente é zero, logo \lambda\mathbf{u}\in S. Assim, S é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

O conjunto S satisfaz as três propriedades de subespaço de \mathbb{R}^{4} e, portanto, é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}.

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