Em cada item abaixo, encontre o comprimento do arco da curva dada.
x=13 y^3+14 y em 1 <= x <= 3.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva definida por
x = 13y^3 + 14y
no intervalo de parâmetro y de 1 a 3. O conteúdo aqui é comprimento de arco de uma curva dada por x(y), cuja fórmula é
L = integraly=1^y=3 raiz1 + l(tfracdxdyr)^2;dy

Passo 2

Derivamos
dxdy = ddyl(tfrac13y^3 + tfrac14yr) = y^2 - 14y^2
Logo,
1 + l(tfracdxdyr)^2 = 1 + (4y^4-1)^216y^4

Passo 3

Expandindo e somando:
(4y^4-1)^2 = 16y^8 - 8y^4 + 1,
então
1 + (4y^4-1)^216y^4 = 16y^4 + 16y^8 - 8y^4 + 116y^4 = 16y^8 + 8y^4 + 116y^4 = l(4y^4+14y^2r)^2

Passo 4

Daí
raiz1 + l(tfracdxdyr)^2 = 4y^4+14y^2 = y^2 + 14y^2
Assim
L = integral1^3l(y^2 + tfrac14y^2r),dy = integral1^3y^2,dy ;+;14integral1^3y^-2,dy
Sabemos que
integral y^2,dy = y^33, integral y^-2,dy = -1y

Passo 5

Calculando em 1 e 3:
L = l[y^33 - 14yr]1^3 = l(9 - tfrac112r) - l(tfrac13 - tfrac14r) = 10712 - 112 = 10612 = 536

Resposta

L = 536

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