Exerć́cio 3: Esboce a região de integração das integrais abaixo, reescreva cada uma mudando a ordem das variáveis de integração e calcule as integrais.
integral1^2 integral0^ln x 10 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para a integral dupla
integral1^2integral0^ln x10,dy,dx
  1. esboçar a região de integração, 2) inverter a ordem de integração e 3) calcular as integrais. O assunto é integrais duplas e troca de ordem de integração.

Passo 2

Para esboçar a região, note que x vai de 1 a 2 e, para cada x, y vai de 0 até ln x. A curva y=ln x sai de (1,0) e chega em (2,ln 2), enquanto y=0 é o eixo x. Assim a região R é
R=(x,y)mid 1<= x<=2,;0<= y<=ln x

Passo 3

Para inverter a ordem, tomamos y de 0 até ln2 e, para cada y, x vai da curva inversa x=e^y até a reta x=2. A integral invertida fica
integral0^ln2integrale^y^210,dx,dy

Passo 4

Calculando em ambas as ordens para verificar:
integral1^2integral0^ln x10,dy,dx =integral1^210ln x,dx =10l[xln x-xr]1^2 =20ln2-10
integral0^ln2integrale^y^210,dx,dy =integral0^ln210l(2-e^yr),dy =10l[2y-e^yr]0^ln2 =20ln2-10
Em ambos os casos o valor é 20ln2-10.

Resposta

A região de integração é
R=(x,y)mid 1<= x<=2,;0<= y<=ln x
A integral com ordem invertida é
integral0^ln2integrale^y^210,dx,dy
e o valor da integral é
20ln2 - 10

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