Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante:
integral0^2 integralx^3^8 e^x / raiz[3]y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
integral0^2!integralx^3^8 e^xraiz[3]y,dy,dx
e depois calcular o valor numérico. O conteúdo é troca de ordem de integração em integrais duplas e uso de substituição para integrar.

Passo 2

Descrevemos a região de integração no plano xy. Originalmente x varia de 0 a 2 e, para cada x, y varia de y=x^3 até y=8. Logo, o conjunto
R=(x,y)mid 0<= x<= 2,;x^3<= y<= 8
Para inverter, observamos que y vai de seu mínimo 0^3=0 até 8, e para cada y fixo o x satisfaz x^3<= y e 0<= x<=2. Como y<=8 implica y^1/3<=2, concluímos que, para 0<= y<=8,
0<= x<= y^1/3

Passo 3

Escrevemos a integral com ordem invertida:
integraly=0^8!integralx=0^y^1/3 e^xraiz[3]y,dx,dy

Passo 4

Para a integral interna em x fazemos a substituição
u = xraiz[3]y, x = y^1/3u, dx = y^1/3,du,
com x=0mapsto u=0 e x=y^1/3mapsto u=1. Assim,
integral0^y^1/3 e^xraiz[3]y,dx = integral0^1 e^u,y^1/3,du = y^1/3l[e^ur]0^1 = y^1/3(e-1)

Passo 5

Substituindo no integral externa:
integral0^8 y^1/3(e-1),dy = (e-1)integral0^8 y^1/3,dy = (e-1)[y^4/3tfrac43]0^8 = (e-1)34l(8^4/3-0r)
Como 8^4/3=(2^3)^4/3=2^4=16, isso dá
(e-1)34cdot16 = 12,(e-1)

Resposta

12,(e-1)

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