Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante:
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
e depois calcular o valor numérico. O conteúdo é troca de ordem de integração em integrais duplas e uso de substituição para integrar.
Passo 2
Descrevemos a região de integração no plano
. Originalmente
varia de
a
e, para cada
,
varia de
até
. Logo, o conjunto
Para inverter, observamos que
vai de seu mínimo
até
, e para cada
fixo o
satisfaz
e
. Como
implica
, concluímos que, para
,
Passo 3
Escrevemos a integral com ordem invertida:
Passo 4
Para a integral interna em
fazemos a substituição
com
e
. Assim,
Passo 5
Substituindo no integral externa:
Como
, isso dá