Em cada item abaixo, encontre o comprimento do arco da curva dada.
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o comprimento do arco da curva dada pela função
no intervalo de
. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente ao cálculo de comprimento de arco de uma função. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e calcular uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função
entre dois pontos
e
. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada da função
em relação a
. Então, precisamos primeiro encontrar essa derivada.
Passo 3
Vamos derivar a função
em relação a
:
Isso significa que a derivada de
é
.
Passo 4
Agora, vamos substituir a derivada na fórmula do comprimento do arco:
Simplificando dentro da raiz, temos:
Então, a integral fica:
Passo 5
Essa integral pode ser um pouco complicada para resolver de forma exata, então vamos calcular numericamente para obter um valor aproximado. Utilizando métodos de integração numérica ou uma calculadora, encontramos que:
Resposta
O comprimento do arco da curva
no intervalo de
é aproximadamente 1,89 unidades.