Diga se são Verdadeiras (V) ou Falsas (F) as seguintes afirmações:
(a) ( ) Se lim x x0 f(x) existe e lim x x0 g(x) não existe, então lim x x0(f(x)+g(x)) não existe.
(b) ( ) Se lim x x0 f(x) existe e lim x x0(f(x)+g(x)) existe então lim x x0 g(x) existe
(c) ( ) Se lim x x0 f(x) não existe e lim x x0 g(x) não existe, então lim x x0(f(x)+g(x)) não existe.
(d) ( ) lim x x0 f(x)=L se, e somente se, lim x x0(f(x)-L)=0.
(e) ( ) Se lim x x0|f(x)|=1 então lim x x0 f(x)=1 ou lim x x0 f(x)=-1.

Passo 1

O enunciado pede para julgar cinco afirmações sobre o comportamento de limites de funções quando somamos, subtraímos ou aplicamos valor absoluto. O conteúdo principal é a propriedade de linearidade dos limites (soma e diferença) e o uso de contraexemplos para mostrar falsidade de afirmações gerais.

Passo 2

Afirmações (a) e (b) usam a ideia de que, se limxto x0f(x)=A e limxto x0(f(x)+g(x))=C existem, então
limxto x0g(x) =limxto x0l[(f(x)+g(x))-f(x)r] =C-A
existe.
(a) Diz que, se lim f existe e lim g não existe, então lim(f+g) não existe. Isso é equivalente à contrapositive: se lim(f+g) existisse, então lim g existiria. Logo (a) é Verdadeira.
(b) É justamente a afirmação direta dessa propriedade: se lim f e lim(f+g) existem, então lim g existe. Logo (b) é Verdadeira.

Passo 3

Afirmação (c) afirma que, se lim f e lim g não existem, então lim(f+g) não existe. Isso é falso, pois podemos ter cancelamento. Por exemplo, ao fazer xto0:
f(x)=1x, g(x)=-1x,
nenhuma das duas tem limite finito em 0, mas
f(x)+g(x)=0
tem limite 0. Portanto (c) é Falsa.

Passo 4

Afirmação (d) diz que limxto x0f(x)=L se, e somente se, limxto x0(f(x)-L)=0. Basta usar a propriedade de diferença de limite:
limxto x0(f(x)-L) =limxto x0f(x)-L =L-L=0
e o argumento inverso. Logo (d) é Verdadeira.

Passo 5

Afirmação (e) afirma que, se
Então , mas não tem limite, pois oscila entre e . Portanto (e) é Falsa.

Resposta

(a) V
(b) V
(c) F
(d) V
(e) F

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