Diga se são Verdadeiras (V) ou Falsas (F) as seguintes afirmações:
(a) ( ) Se
existe e
não existe, então
não existe.
(b) ( ) Se
existe e
existe então
existe
(c) ( ) Se
não existe e
não existe, então
não existe.
(d) ( )
se, e somente se,
.
(e) ( ) Se
então
ou
.
(a) ( ) Se
(b) ( ) Se
(c) ( ) Se
(d) ( )
(e) ( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para julgar cinco afirmações sobre o comportamento de limites de funções quando somamos, subtraímos ou aplicamos valor absoluto. O conteúdo principal é a propriedade de linearidade dos limites (soma e diferença) e o uso de contraexemplos para mostrar falsidade de afirmações gerais.
Passo 2
Afirmações (a) e (b) usam a ideia de que, se
e
existem, então
existe.
(a) Diz que, se existe e
não existe, então
não existe. Isso é equivalente à contrapositive: se
existisse, então
existiria. Logo (a) é Verdadeira.
(b) É justamente a afirmação direta dessa propriedade: se e
existem, então
existe. Logo (b) é Verdadeira.
(a) Diz que, se
(b) É justamente a afirmação direta dessa propriedade: se
Passo 3
Afirmação (c) afirma que, se
e
não existem, então
não existe. Isso é falso, pois podemos ter cancelamento. Por exemplo, ao fazer
:
nenhuma das duas tem limite finito em
, mas
tem limite
. Portanto (c) é Falsa.
Passo 4
Afirmação (d) diz que
se, e somente se,
. Basta usar a propriedade de diferença de limite:
e o argumento inverso. Logo (d) é Verdadeira.
Passo 5
Afirmação (e) afirma que, se
Então , mas
não tem limite, pois oscila entre
e
. Portanto (e) é Falsa.
Resposta
(a) V
(b) V
(c) F
(d) V
(e) F
(b) V
(c) F
(d) V
(e) F