Em cada item abaixo, as equações representam as trajetórias retilíneas de duas partículas com velocidade uniforme. Determine se as trajetórias se interceptam. Em caso afirmativo, determine se há colisão entre as partículas.
theta(t)=(1+t,-2 t, 3-t) e lambda(t)=(6+2 t,-10-2 t,-2-2 t)

Passo 1

O enunciado dá duas trajetórias retilíneas com velocidade uniforme
theta(t) = (1+t,,-2t,;3-t), lambda(t) = (6+2t,,-10-2t,;-2-2t)
Queremos:
  1. Verificar se as retas (trajetórias) se interceptam em algum ponto do espaço;
  2. Caso afirmativo, checar se as partículas ocupam esse ponto ao mesmo tempo (colisão).

Passo 2

Para achar a interseção espacial, introduzimos um parâmetro distinto s para lambda e igualamos coordenadas:
1+t = 6+2s, -2t = -10-2s, 3-t = -2-2s

Passo 3

Da segunda equação
-2t = -10-2s Longrightarrow 2t = 10+2s Longrightarrow t = 5 + s
Substituindo em
1+t =6+2s Longrightarrow 1+(5+s)=6+2s Longrightarrow 6+s=6+2s Longrightarrow s=0,
logo t=5. Verificando na terceira equação:
3-5 = -2 -2cdot0 Longrightarrow -2 = -2,
válido. Então há interseção única em (t,s)=(5,0).

Passo 4

O ponto de interseção é
theta(5) = (1+5,,-2cdot5,;3-5) = (6,,-10,,-2)
Como ele ocorre em instantes diferentes ( theta em t=5 e lambda em s=0), não há colisão.

Resposta

As trajetórias se interceptam no ponto (6,-10,-2), mas não há colisão, pois as partículas chegam a esse ponto em instantes distintos.

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