Em cada item abaixo, as equações representam as trajetórias retilíneas de duas partículas com velocidade uniforme. Determine se as trajetórias se interceptam. Em caso afirmativo, determine se há colisão entre as partículas.
varepsilon(t)=(1+t,-2 t, 3-t) e eta(t)=(6+t,-10-t,-2-t)

Passo 1

O enunciado nos dá duas partículas com movimento retilíneo uniforme, cujas trajetórias são
varepsilon(t) = (1 + t,,-2t,;3 - t) e eta(t) = (6 + t,,-10 - t,;-2 - t)
Queremos saber se existe interseção das trajetórias, ou seja se existem instantes t e s tais que varepsilon(t)=eta(s), e, em caso positivo, se essa interseção ocorre no mesmo instante (colisão), i.e.\ se t=s.

Passo 2

Impondo varepsilon(t)=eta(s) componente a componente, obtemos o sistema
1 + t = 6 + s,
-2t = -10 - s,
3 - t = -2 - s
As duas primeiras geram
t - s = 5, -2t + s = -10,
enquanto a terceira é equivalente à primeira. Somando essas duas equações:
(t - s) + (-2t + s) = 5 + (-10) ;Longrightarrow;-t = -5 ;Longrightarrow;t = 5
Substituindo em t - s = 5 segue s = 0.

Passo 3

Há, portanto, solução (t=5,;s=0). O ponto de interseção é
varepsilon(5) = (1+5,,-2cdot5,;3-5) = (6,,-10,,-2),
o mesmo em eta(0).

Passo 4

Para colisão precisaríamos de t = s, mas encontramos t=5neq0=s. Logo, embora as trajetórias se cruzem, as partículas não chegam lá ao mesmo tempo.

Resposta

As trajetórias se interceptam em (6,-10,-2), mas não há colisão.

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