Qual das equações abaixo representa uma circunferência?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado lista cinco equações de segundo grau em
e pergunta qual delas representa uma circunferência. O conteúdo é geometria analítica de cônicas, e vamos usar o fato de que uma circunferência tem os coeficientes de
e
iguais e não tem termo misto
. Além disso, para verificar se é uma circunferência real (raio real e não degenerada) precisamos completar o quadrado e encontrar
.
Passo 2
Checamos em cada alternativa se os coeficientes de
e de
são iguais e se não há termo
:
a) coeficientes e
não é
b) tem termo não é
c) coeficientes e
, sem
candidato
d) coeficientes e
, sem
candidato
e) coeficientes e
, sem
candidato
a) coeficientes
b) tem termo
c) coeficientes
d) coeficientes
e) coeficientes
Passo 3
Para (c)
dividimos por
:
Agora completamos quadrados:
Substituindo,
Aqui o lado direito é negativo, não há pontos reais. Então não é uma circunferência real.
Passo 4
Para (d)
Completando:
logo
Isso é uma circunferência de raio zero (um único ponto), ou seja, degenerada.
Passo 5
Para (e)
dividimos por
:
Completando quadrados:
substituindo:
Aqui obtemos
, logo é uma circunferência real de centro
e raio
.
Resposta
e)