Qual das equações abaixo representa uma circunferência?
a) x^2+3 y^2-5 x-7 y-1=0
b) x^2+y^2+x y-4 x-6 y-9=0
c) 3 x^2+3 y^2+4 x-6 y+15=0
d) x^2+y^2-2 x-2 y+2=0
e) 2 x^2+2 y^2-4 x-6 y-3=0

Passo 1

O enunciado lista cinco equações de segundo grau em x,y e pergunta qual delas representa uma circunferência. O conteúdo é geometria analítica de cônicas, e vamos usar o fato de que uma circunferência tem os coeficientes de x^2 e y^2 iguais e não tem termo misto xy. Além disso, para verificar se é uma circunferência real (raio real e não degenerada) precisamos completar o quadrado e encontrar r^2>0.

Passo 2

Checamos em cada alternativa se os coeficientes de x^2 e de y^2 são iguais e se não há termo xy:
a) coeficientes 1 e 3 to não é
b) tem termo xy to não é
c) coeficientes 3 e 3, sem xy to candidato
d) coeficientes 1 e 1, sem xy to candidato
e) coeficientes 2 e 2, sem xy to candidato

Passo 3

Para (c)
3x^2+3y^2+4x-6y+15=0
dividimos por 3:
x^2+y^2+43x-2y+5=0
Agora completamos quadrados:
x^2+43x = l(x+23r)^2 - 49, y^2-2y = (y-1)^2 -1
Substituindo,
l(x+23r)^2 + (y-1)^2 - 49 -1 +5 =0 ;Longrightarrow; l(x+23r)^2 + (y-1)^2 = -329
Aqui o lado direito é negativo, não há pontos reais. Então não é uma circunferência real.

Passo 4

Para (d)
x^2+y^2-2x-2y+2=0
Completando:
x^2-2x = (x-1)^2 -1, y^2-2y = (y-1)^2 -1,
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(x-1)^2+(y-1)^2 -1 -1 +2 =0 ;Longrightarrow; (x-1)^2+(y-1)^2 =0
Isso é uma circunferência de raio zero (um único ponto), ou seja, degenerada.

Passo 5

Para (e)
2x^2+2y^2-4x-6y-3=0
dividimos por 2:
x^2+y^2-2x-3y-32=0
Completando quadrados:
x^2-2x = (x-1)^2 -1, y^2-3y = l(y-32r)^2 -94,
substituindo:
(x-1)^2 + l(y-32r)^2 -1 -94 -32 =0 ;Longrightarrow; (x-1)^2 + l(y-tfrac32r)^2 = 194
Aqui obtemos r^2 = 19/4>0, logo é uma circunferência real de centro (1,tfrac32) e raio raiz19/2.

Resposta

e) ;2x^2+2y^2-4x-6y-3=0

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