Considere a transformação linear T: V \rightarrow W dada por T_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 1 & 2 & -2 \\\\ 0 & 2 & 4 & -4 \\\\ 1 & 0 & 1 & -1\end{array}\right), onde \alpha e \beta são bases de V e W, respectivamente.
I. Determinar:
a) \operatorname{dim} V
b) \operatorname{dim} W
c) \operatorname{dim} \operatorname{Im}(T)
d) \operatorname{dim} \mathrm{N}(T)
II. Classificar em verdadeiro ou falso:
a) T é uma transformação linear invertível.
b) A dimensão da imagem de T independe do posto da matriz [T]_{\beta}^{\alpha}.
c) \operatorname{Im}(T)=\left[w_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4}\right], onde
d) O conjunto \left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4}\right\} referente ao item anterior é uma base de \operatorname{Im}(T).
e) \operatorname{nul}\left([T]_{\beta}^{\alpha}\right)=4-\mathrm{p}\left([T]_{\beta}^{\alpha}\right)=\operatorname{dim} V-\operatorname{dim} \operatorname{Im}(T).
f) \mathrm{p}\left([T]_{\beta}^{\alpha}\right) \neq \mathrm{p}\left([T]_{\beta^{\prime}}^{\alpha^{\prime}}\right), onde \alpha^{\prime} e \beta^{\prime} são bases de V e W, respectivamente.
g) \operatorname{nul}\left([T]_{\beta}^{\alpha}\right)=\operatorname{nul}\left([T]_{\beta^{\prime}}^{\alpha^{\prime}}\right)=\operatorname{dim} \mathrm{N}(T), onde \alpha^{\prime} e \beta^{\prime} são bases de V e W, respectivamente.
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear T\colon V\to W representada por uma matriz 4\times4 em relação às bases \alpha e \beta. Precisamos usar conceitos de dimensão de espaço vetorial e o Teorema do Núcleo e da Imagem para determinar
– \dim V
– \dim W
– \dim\mathrm{Im}(T)
– \dim\mathrm{N}(T)
e depois classificar as afirmações I e II.
Passo 2
O número de colunas da matriz [T]_{\beta}^{\alpha} é igual a \dim V, e o número de linhas é igual a \dim W. Como a matriz tem 4 colunas e 4 linhas, temos
\dim V = 4,
\dim W = 4.
Passo 3
Para calcular \dim\mathrm{Im}(T) basta achar o posto da matriz
Observando que a terceira linha é 2 vezes a segunda e a quarta é igual à primeira, restam apenas duas linhas independentes. Logo
\dim\mathrm{Im}(T) = 2.
Passo 4
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,
\dim V = \dim\mathrm{Im}(T) + \dim\mathrm{N}(T).
Substituindo \dim V=4 e \dim\mathrm{Im}(T)=2, obtemos
\dim\mathrm{N}(T) = 4 - 2 = 2.
Passo 5
Classificando as afirmações I e II:
I(a) T é invertível se, e somente se, \dim\mathrm{Im}(T)=\dim V. Como 2\neq4, é falsa.
I(b) A dimensão de \mathrm{Im}(T)é o posto da matriz [T]_{\beta}^{\alpha}. Dizer que independe do posto é falso.
Passo 6
I(c) As colunas de [T]_{\beta}^{\alpha} são exatamente
portanto \mathrm{Im}(T)=\operatorname{span}\{w_1,w_2,w_3,w_4\}. Logo a afirmação é verdadeira.
I(d) Para ser base de \mathrm{Im}(T), o conjunto deve ser independente. Aqui somente dois vetores são independentes (posto 2), então é falsa.
é exatamente o Teorema do Núcleo e da Imagem, logo é verdadeira.
I(f) O posto é invariante por mudança de base, então afirmar \mathrm{p}([T]_{\beta}^{\alpha})\neq \mathrm{p}([T]_{\beta'}^{\alpha'})
é falso.
I(g) A nulidade também é invariante por mudança de base e coincide com \dim\mathrm{N}(T), portanto é verdadeira.