Considere a transformação linear T: V \rightarrow W dada por T_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 1 & 2 & -2 \\\\ 0 & 2 & 4 & -4 \\\\ 1 & 0 & 1 & -1\end{array}\right), onde \alpha e \beta são bases de V e W, respectivamente.
I. Determinar:
a) \operatorname{dim} V
b) \operatorname{dim} W
c) \operatorname{dim} \operatorname{Im}(T)
d) \operatorname{dim} \mathrm{N}(T)
II. Classificar em verdadeiro ou falso:
a) T é uma transformação linear invertível.
b) A dimensão da imagem de T independe do posto da matriz [T]_{\beta}^{\alpha}.
c) \operatorname{Im}(T)=\left[w_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4}\right], onde
\left[w_{1}\right]_{\beta}=\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right), \quad\left[w_{2}\right]_{\beta}=\left(\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 0 \end{array}\right), \quad\left[w_{3}\right]_{\beta}=\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 4 \\\\ 1 \end{array}\right) \text { e }\left[w_{4}\right]_{\beta}=\left(\begin{array}{l} -1 \\\\ -2 \\\\ -4 \\\\ -1 \end{array}\right)
d) O conjunto \left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4}\right\} referente ao item anterior é uma base de \operatorname{Im}(T).
e) \operatorname{nul}\left([T]_{\beta}^{\alpha}\right)=4-\mathrm{p}\left([T]_{\beta}^{\alpha}\right)=\operatorname{dim} V-\operatorname{dim} \operatorname{Im}(T).
f) \mathrm{p}\left([T]_{\beta}^{\alpha}\right) \neq \mathrm{p}\left([T]_{\beta^{\prime}}^{\alpha^{\prime}}\right), onde \alpha^{\prime} e \beta^{\prime} são bases de V e W, respectivamente.
g) \operatorname{nul}\left([T]_{\beta}^{\alpha}\right)=\operatorname{nul}\left([T]_{\beta^{\prime}}^{\alpha^{\prime}}\right)=\operatorname{dim} \mathrm{N}(T), onde \alpha^{\prime} e \beta^{\prime} são bases de V e W, respectivamente.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T\colon V\to W representada por uma matriz 4\times4 em relação às bases \alpha e \beta. Precisamos usar conceitos de dimensão de espaço vetorial e o Teorema do Núcleo e da Imagem para determinar
\dim V
\dim W
\dim\mathrm{Im}(T)
\dim\mathrm{N}(T)
e depois classificar as afirmações I e II.

Passo 2

O número de colunas da matriz [T]_{\beta}^{\alpha} é igual a \dim V, e o número de linhas é igual a \dim W. Como a matriz tem 4 colunas e 4 linhas, temos
\dim V = 4,
\dim W = 4.

Passo 3

Para calcular \dim\mathrm{Im}(T) basta achar o posto da matriz
[T]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 1 & 2 & -2\\\\ 0 & 2 & 4 & -4\\\\ 1 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Observando que a terceira linha é 2 vezes a segunda e a quarta é igual à primeira, restam apenas duas linhas independentes. Logo
\dim\mathrm{Im}(T) = 2.

Passo 4

Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,
\dim V = \dim\mathrm{Im}(T) + \dim\mathrm{N}(T).
Substituindo \dim V=4 e \dim\mathrm{Im}(T)=2, obtemos
\dim\mathrm{N}(T) = 4 - 2 = 2.

Passo 5

Classificando as afirmações I e II:
I(a) T é invertível se, e somente se, \dim\mathrm{Im}(T)=\dim V. Como 2\neq4, é falsa.
I(b) A dimensão de \mathrm{Im}(T) é o posto da matriz [T]_{\beta}^{\alpha}. Dizer que independe do posto é falso.

Passo 6

I(c) As colunas de [T]_{\beta}^{\alpha} são exatamente
w_1=(1,0,0,1),\quad w_2=(0,1,2,0),\quad w_3=(1,2,4,1),\quad w_4=(-1,-2,-4,-1),
portanto \mathrm{Im}(T)=\operatorname{span}\{w_1,w_2,w_3,w_4\}. Logo a afirmação é verdadeira.
I(d) Para ser base de \mathrm{Im}(T), o conjunto deve ser independente. Aqui somente dois vetores são independentes (posto 2), então é falsa.

Passo 7

I(e) A relação
\nul\bigl([T]_{\beta}^{\alpha}\bigr) =4-\mathrm{p}\bigl([T]_{\beta}^{\alpha}\bigr) =\dim V-\dim\mathrm{Im}(T)
é exatamente o Teorema do Núcleo e da Imagem, logo é verdadeira.
I(f) O posto é invariante por mudança de base, então afirmar \mathrm{p}([T]_{\beta}^{\alpha})\neq \mathrm{p}([T]_{\beta'}^{\alpha'})
é falso.
I(g) A nulidade também é invariante por mudança de base e coincide com \dim\mathrm{N}(T), portanto é verdadeira.

Resposta

I(a) \dim V=4
I(b) \dim W=4
I(c) \dim\mathrm{Im}(T)=2
I(d) \dim\mathrm{N}(T)=2 II(a) Falsa
II(b) Falsa
II(c) Verdadeira
II(d) Falsa
II(e) Verdadeira
II(f) Falsa
II(g) Verdadeira

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