Exercício 6.8.11. Provar que o operador que, na base canônica de \mathbb{R}^{2}, possui a matriz representativa \left(\begin{array}{ll}1 & a \\\\ 0 & 1\end{array}\right), a \in \mathbb{R}, não pode ser diagonalizado se a \neq 0.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz na base canônica é
A = \begin{pmatrix}1 & a\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix},
com a\in\mathbb{R}, não admite uma base de autovetores (isto é, não é diagonalizável) sempre que a\neq0. O conteúdo principal aqui é teoria de autovalores, autovetores, multiplicidade algébrica e geométrica e o critério de diagonalização em espaços de dimensão finita.]
Passo 2
Vamos primeiro calcular o polinômio característico de A. Em geral, para
A - \lambda I = \begin{pmatrix}1-\lambda & a\\[3pt]0 & 1-\lambda\end{pmatrix},
Para que A fosse diagonalizável em \mathbb{R}^2, precisaríamos de dois autovetores linearmente independentes, ou seja, a soma das dimensões geométrica dos espaços próprios deveria ser 2. Aqui, existe apenas um autovalor \lambda=1 de multiplicidade algébrica 2, mas seu espaço próprio tem dimensão geométrica apenas 1. Como \text{(multiplicidade geométrica)} < \text{(multiplicidade algébrica)},éé o critério de diagonalização falha.
Resposta
O operador não é diagonalizável quando a\neq0, pois o único autovalor \lambda=1 tem multiplicidade algébrica 2 mas espaço próprio de dimensão 1.