Sejam
e
espaços vetoriais de dimensão finita sobre
e
o conjunto de todas as transformações lineares de
para
. Dadas
e
definimos as operações adição e produto por escalar das seguintes formas:
-
como
;
-
como
.
Mostre que com essas operações o conjunto
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
das transformações lineares de
em
, com as operações
satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre
. Vamos verificar fechamento, existência de elemento neutro e inverso para adição, associatividade e comutatividade da adição, e as propriedades do produto por escalar (identidade, associatividade de escalares e distributividades).
Passo 2
(Fechamento em relação a adição e a multiplicação por escalar)
Sejam e
.
Sejam
- Para mostrar que
é linear, tomemos .
E para escalar
:
Logo
.
2. Para , seja
.
2. Para
e
Assim
.
Passo 3
(Associatividade e comutatividade da adição)
Sejam e
.
1.
Sejam
1.
Logo a adição é associativa e comutativa.
Passo 4
(Elemento neutro e inverso aditivo)
- Definimos o morfismo zero
por para todo . Então
ou seja,
é o elemento neutro da adição.
2. Para cada definimos
por
. Então
2. Para cada
de modo que
é o inverso aditivo de
.
Passo 5
(Propriedades do produto por escalar)
Sejam e
. Para todo
:
Sejam
- Identidade escalar:
logo
.
2. Associatividade de escalares:
2. Associatividade de escalares:
- Distributividade em relação à adição de transformações:
- Distributividade em relação à adição de escalares:
Resposta
Portanto todas as propriedades de espaço vetorial sobre
são satisfeitas, e
é de fato um espaço vetorial.