Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão finita sobre \mathbb{R} e \mathcal{L}(V, W) o conjunto de todas as transformações lineares de V para W. Dadas A, B \in \mathcal{L}(V, W) e \alpha \in \mathbb{R} definimos as operações adição e produto por escalar das seguintes formas:
  • A+B: V \longrightarrow W como (A+B)(v)=A(v)+B(V);
  • \alpha A: V \longrightarrow W como (\alpha A)(v)=\alpha \cdot A(v).
Mostre que com essas operações o conjunto \mathcal{L}(V, W) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto \mathcal{L}(V,W) das transformações lineares de V em W, com as operações
(A+B)(v)=A(v)+B(v),
(\alpha A)(v)=\alpha\cdot A(v),
satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Vamos verificar fechamento, existência de elemento neutro e inverso para adição, associatividade e comutatividade da adição, e as propriedades do produto por escalar (identidade, associatividade de escalares e distributividades).

Passo 2

(Fechamento em relação a adição e a multiplicação por escalar)
Sejam A,B\in\mathcal{L}(V,W) e \alpha\in\mathbb{R}.
  1. Para mostrar que A+B é linear, tomemos u,v\in V.
(A+B)(u+v)=A(u+v)+B(u+v)=\bigl[A(u)+A(v)\bigr]+\bigl[B(u)+B(v)\bigr] =\bigl[A(u)+B(u)\bigr]+\bigl[A(v)+B(v)\bigr] =(A+B)(u)+(A+B)(v).
E para escalar \lambda\in\mathbb{R}:
(A+B)(\lambda v)=A(\lambda v)+B(\lambda v) =\lambda A(v)+\lambda B(v) =\lambda\bigl[A(v)+B(v)\bigr] =\lambda\,(A+B)(v).
Logo A+B\in\mathcal{L}(V,W).
2. Para \alpha A, seja u,v\in V.
(\alpha A)(u+v)=\alpha\,A(u+v)=\alpha\bigl[A(u)+A(v)\bigr] =\alpha A(u)+\alpha A(v)=(\alpha A)(u)+(\alpha A)(v)
e
(\alpha A)(\beta v)=\alpha\,A(\beta v)=\alpha\bigl[\beta A(v)\bigr] =(\alpha\beta)\,A(v)=\beta\bigl[\alpha A(v)\bigr] =\beta\,(\alpha A)(v).
Assim \alpha A\in\mathcal{L}(V,W).

Passo 3

(Associatividade e comutatividade da adição)
Sejam A,B,C\in\mathcal{L}(V,W) e v\in V.
1.
\bigl((A+B)+C\bigr)(v) =(A+B)(v)+C(v) =\bigl[A(v)+B(v)\bigr]+C(v) =A(v)+\bigl[B(v)+C(v)\bigr] =\bigl(A+(B+C)\bigr)(v).
(A+B)(v)=A(v)+B(v)=B(v)+A(v)=(B+A)(v).
Logo a adição é associativa e comutativa.

Passo 4

(Elemento neutro e inverso aditivo)
  1. Definimos o morfismo zero 0\colon V\to W por 0(v)=0_W para todo v. Então
(A+0)(v)=A(v)+0_W=A(v),
(0+A)(v)=0_W+A(v)=A(v),
ou seja, 0 é o elemento neutro da adição.
2. Para cada A\in\mathcal{L}(V,W) definimos -A por ( -A)(v)=-\bigl[A(v)\bigr]. Então
(A+(-A))(v)=A(v)-A(v)=0_W,
((-A)+A)(v)=-A(v)+A(v)=0_W,
de modo que -A é o inverso aditivo de A.

Passo 5

(Propriedades do produto por escalar)
Sejam A\in\mathcal{L}(V,W) e \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Para todo v\in V:
  1. Identidade escalar:
1\cdot A(v)=A(v),
logo 1A=A.
2. Associatividade de escalares:
\alpha\bigl(\beta A\bigr)(v)=\alpha\bigl[\beta A(v)\bigr] =(\alpha\beta)\,A(v)=\bigl((\alpha\beta)A\bigr)(v).
  1. Distributividade em relação à adição de transformações:
\alpha(A+B)(v)=\alpha\bigl[A(v)+B(v)\bigr] =\alpha A(v)+\alpha B(v) =\bigl(\alpha A+\alpha B\bigr)(v).
  1. Distributividade em relação à adição de escalares:
(\alpha+\beta)A(v)=\alpha A(v)+\beta A(v) =\bigl(\alpha A+\beta A\bigr)(v).

Resposta

Portanto todas as propriedades de espaço vetorial sobre \mathbb{R} são satisfeitas, e \mathcal{L}(V,W) é de fato um espaço vetorial.

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