Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine um intervalo em que a solução existe.
lsen(x) y^prime+cos (x) y=e^x y(1)=2 pi

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
sin(x),y' + cos(x),y = e^x, y(1) = 2pi
O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem; vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo por sin(x) (supondo sin(x)neq0):
y' + cos(x)sin(x),y = e^xsin(x)
Aqui p(x)=cot(x) e q(x)=e^xsin(x).

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(integral cot(x),dxr) = exp(ln|sin(x)|) = |sin(x)|
Num intervalo onde sin(x)>0 (por exemplo (0,pi)), podemos usar mu(x)=sin(x).

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=sin(x), o lado esquerdo vira derivada:
sin(x),y' + cos(x),y = ddxl[sin(x),yr],
logo
ddxl[sin(x),yr] = e^x
Integrando ambos os lados,
sin(x),y = integral e^x,dx = e^x + C

Passo 5

Isolando y, obtemos
y(x) = e^x + Csin(x)

Passo 6

Para satisfazer y(1)=2pi, fazemos
sin(1)cdot 2pi = e^1 + C Longrightarrow C = 2pisin(1) - e

Passo 7

Substituindo C na solução geral:
y(x) = e^x + 2pisin(1) - esin(x)
Como dividimos por sin(x), a solução existe em qualquer intervalo que não contenha zeros de sin(x). Para incluir x=1, basta tomar por exemplo
xin(0,pi)

Resposta

y(x) = e^x + 2pisin(1) - esin(x), xin(0,pi)

Exercícios relacionados