Em cada item abaixo, indique se a equação é separável, homogênea, exata, linear, ou nenhum desses tipos.
d yd x=y^2 e^x

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação
dydx = y^2 e^x
nas categorias: separável, homogênea, exata, linear ou nenhum desses. Para isso, vamos rever cada definição e testar essa ODE em cada caso.

Passo 2

Uma equação é separável se for possível escrever
dydx = g(x),h(y),
ou seja, para separar variáveis como 1h(y),dy = g(x),dx. Aqui temos
g(x) = e^x, h(y) = y^2,
então
dydx = e^x,y^2 ;Longrightarrow; 1y^2,dy = e^x,dx
Logo, a equação é separável.

Passo 3

Uma equação é linear se puder ser escrita na forma
dydx + P(x),y = Q(x)
No nosso caso temos dydx = y^2e^x, que não é da forma a(x),y + b(x) (pois aparece y^2). Portanto, não é linear.

Passo 4

Uma equação é exata se, ao escrevê-la como
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
satisfazermos partial Mpartial y = partial Npartial x. Reescrevendo:
-y^2e^x,dx + 1cdotdy = 0,
temos M(x,y)=-y^2e^x e N(x,y)=1. Calculamos
partial Mpartial y = -2y,e^x, partial Npartial x = 0,
que não são iguais. Logo, não é exata.

Passo 5

Uma equação é dita homogênea se, na forma dydx=F(x,y), a função F for homogênea de mesmo grau em x,y, isto é, F(tx,ty)=t^nF(x,y). Aqui
F(x,y)=y^2e^x
não satisfaz essa propriedade (o fator e^x impede a homogeneidade). Portanto, não é homogênea.

Resposta

A equação dydx=y^2e^x é separável.

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