Em cada item abaixo, indique se a equação é separável, homogênea, exata, linear, ou nenhum desses tipos.
y-x^4+d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação
y - x^4 + dydx = 0
nas categorias: separável, homogênea, exata, linear ou nenhum desses. Vamos ver cada definição e testar.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão de uma EDO de primeira ordem:
dydx + y = x^4

Passo 3

Teste de separabilidade: uma equação é separável se puder ser escrita como
dydx = g(x),h(y)
Aqui temos dy/dx = x^4 - y, que não se decompõe em produto de função só de x por função só de y. Logo, não é separável.

Passo 4

Teste de homogênea: escrevemos dy/dx = f(x,y). A equação é homogênea se f(lambda x,lambda y)=f(x,y). Aqui
f(x,y)=x^4-y,
e
f(lambda x,lambda y)=lambda^4x^4-lambda yneq f(x,y)
Logo, não é homogênea.

Passo 5

Teste de exatidão: colocamos na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com M = y - x^4 e N=1. Calculamos
partial M/partial y=1 e partial N/partial x=0.
Como não coincidem, a equação não é exata.

Passo 6

Teste de linearidade: uma EDO é linear se puder ser escrita como
dydx + P(x),y = Q(x),
com P e Q funções apenas de x. Nossa equação está exatamente nessa forma, com P(x)=1 e Q(x)=x^4. Portanto, é uma equação linear de primeira ordem.

Resposta

A equação é linear.

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