Em cada item abaixo, indique se a equação é separável, homogênea, exata, linear, ou nenhum desses tipos.
d xd t=x+tt^2-x^2

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação de primeira ordem
dxdt ;=;x+t,t^2-x^2,
nas categorias: separável, homogênea, exata, linear ou nenhum desses.
Precisamos lembrar as definições:
– É linear se puder ser escrita como dxdt+P(t),x=Q(t).
– É separável se dxdt=f(x),g(t).
– É homogênea se F(x,t) depende só de x/t (ou t/x).
– É exata se, ao escrever M(x,t),dx+N(x,t),dt=0, vale partial M/partial t=partial N/partial x.

Passo 2

Testando linearidade: precisaríamos de algo como
dxdt+P(t),x=Q(t)
Aqui o lado direito é (x+t)/(t^2-x^2), que não é afim em x (aparece x^2 no denominador).
Logo, não é linear.

Passo 3

Testando separabilidade: queremos ver se
x+tt^2-x^2 ;=; f(x),g(t)
Não há forma de repartir (x+t) e (t^2-x^2) em funções puramente de x e puramente de t.
Logo, não é separável.

Passo 4

Testando homogeneidade: dividimos numerador e denominador por t^2:
x+tt^2-x^2 = xt+11-l(xtr)^2;cdot;1t
Isso é da forma 1t,Fl(xtr), ou seja, depende só de u=x/t.
Portanto, é uma equação homogênea de grau zero.

Passo 5

Testando exatidão (só para confirmar que não é exata): escrevemos
(t^2 - x^2),dx ;-;(x+t),dt ;=;0,
com M(x,t)=t^2-x^2 e N(x,t)=-(x+t).
Calculamos
partial M/partial t=2t e partial N/partial x=-1,
que não coincidem.
Logo, não é exata.

Resposta

A equação é homogênea.

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