Em cada item abaixo, indique se a equação é separável, homogênea, exata, linear, ou nenhum desses tipos.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a equação de primeira ordem
nas categorias: separável, homogênea, exata, linear ou nenhum desses.
Precisamos lembrar as definições:
– É linear se puder ser escrita como .
– É separável se .
– É homogênea se depende só de
(ou
).
– É exata se, ao escrever , vale
.
Precisamos lembrar as definições:
– É linear se puder ser escrita como
– É separável se
– É homogênea se
– É exata se, ao escrever
Passo 2
Testando linearidade: precisaríamos de algo como
Aqui o lado direito é
, que não é afim em
(aparece
no denominador).
Logo, não é linear.
Logo, não é linear.
Passo 3
Testando separabilidade: queremos ver se
Não há forma de repartir
e
em funções puramente de
e puramente de
.
Logo, não é separável.
Logo, não é separável.
Passo 4
Testando homogeneidade: dividimos numerador e denominador por
:
Isso é da forma
, ou seja, depende só de
.
Portanto, é uma equação homogênea de grau zero.
Portanto, é uma equação homogênea de grau zero.
Passo 5
Testando exatidão (só para confirmar que não é exata): escrevemos
com
e
.
Calculamos
e
,
que não coincidem.
Logo, não é exata.
Calculamos
que não coincidem.
Logo, não é exata.
Resposta
A equação é homogênea.