Em cada item abaixo, indique se a equação é separável, homogênea, exata, linear, ou nenhum desses tipos.
d Td x=x T+x^2T^2

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
dTdx=x,T + x^2T^2
como sendo separável, homogênea, exata, linear ou nenhum desses. Vamos revisar o que cada tipo significa:
  1. Separável: pode escrever dTdx=f(x),g(T).
  2. Linear em T: tem a forma dTdx+P(x),T=Q(x).
  3. Exata: ao escrever M(x,T),dx + N(x,T),dT=0, satisfaz partial M/partial T=partial N/partial x.
  4. Homogênea: se a função F(x,T) do lado direito satisfaz F(tx,tT)=F(x,T) para todo t.

Passo 2

Testando separabilidade:
dTdx =x,T + x^2T^2 =xT + x^2T^2
Não é da forma f(x),g(T) porque há soma de termos que misturam x e T de maneiras diferentes. Logo, não é separável.

Passo 3

Testando linearidade:
Para ser linear em T precisaria ter
dTdx+P(x),T=Q(x)
Aqui dT/dx=(x/T)+(x^2/T^2) não se ajusta a essa forma (aparecem potências negativas de T não lineares). Portanto, não é linear.

Passo 4

Testando homogeneidade:
Defina F(x,T)=l(x,T+x^2r)/T^2. Então
F(tx,tT) =(t x)(tT)+(t x)^2(tT)^2 =t^2(xT+x^2)t^2T^2 =xT+x^2T^2 =F(x,T)
Como F(tx,tT)=F(x,T), a função é homogênea de grau zero e, portanto, a EDO é homogênea.

Passo 5

Testando exatidão (apenas para confirmar):
Escrevemos
dT - x,T + x^2T^2,dx=0,
ou seja M(x,T),dx + N(x,T),dT=0 com
M(x,T)=-x,T + x^2T^2, N(x,T)=1
Então
partial M/partial Tneqpartial N/partial x. Logo, não é exata.

Resposta

A equação diferencial é homogênea.

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