Em cada item abaixo, indique se a equação é separável, homogênea, exata, linear, ou nenhum desses tipos.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a equação diferencial
como sendo separável, homogênea, exata, linear ou nenhum desses. Vamos revisar o que cada tipo significa:
- Separável: pode escrever
. - Linear em
: tem a forma . - Exata: ao escrever
, satisfaz . - Homogênea: se a função
do lado direito satisfaz para todo .
Passo 2
Testando separabilidade:
Não é da forma
porque há soma de termos que misturam
e
de maneiras diferentes. Logo, não é separável.
Passo 3
Testando linearidade:
Para ser linear em precisaria ter
Para ser linear em
Aqui
não se ajusta a essa forma (aparecem potências negativas de
não lineares). Portanto, não é linear.
Passo 4
Testando homogeneidade:
Defina . Então
Defina
Como
, a função é homogênea de grau zero e, portanto, a EDO é homogênea.
Passo 5
Testando exatidão (apenas para confirmar):
Escrevemos
Escrevemos
ou seja
com
Então
. Logo, não é exata.
Resposta
A equação diferencial é homogênea.