Determine se as seqüências convergem ou divergem, em caso de convergência calcule o limite:
n^2+13 n(n+2)

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa ver se a sequência
an = n^2+13,n,(n+2)
converge ou diverge e, se convergir, achar o valor do limite.
Matéria envolvida: limites de sequência (especialmente quociente de polinômios).
O que vamos precisar:
  • Entender grau de polinômio e termo dominante.
  • Propriedade de limite de quociente: se lim P(n) e lim Q(n) existem e lim Q(n)neq 0, então lim P(n)Q(n)=lim P(n)lim Q(n).
  • Saber que 1nto0 e 1n^2to0 quando ntoinfty.

Passo 2

Teoria rápida sobre polinômios:
  • Se deg(P)<deg(Q), limntoinftyP(n)Q(n)=0.
  • Se deg(P)=deg(Q), limntoinftyP(n)Q(n)= razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
  • Se deg(P)>deg(Q), a sequência diverge (vai para pminfty).
    Aqui P(n)=n^2+1 e Q(n)=3n(n+2)=3n^2+6n, ambos de grau 2, então o limite será a razão dos coeficientes de n^2, ou seja, tfrac13.

Passo 3

Para ficar mais claro, reescrevemos dividindo numerador e denominador por n^2:
an=n^2+13n^2+6n =n^2n^2+1n^23n^2n^2+6nn^2 =1+1n^23+6n
Quando ntoinfty, tfrac1nto0 e tfrac1n^2to0, logo
limntoinftyan =1+03+0 =13

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyn^2+13,n,(n+2)=13

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