Em cada item abaixo, indique se a equação é separável, homogênea, exata, linear, ou nenhum desses tipos.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a equação diferencial
como separável, homogênea, exata, linear ou nenhum desses.
Vamos usar as definições:
– separável se ;
– linear se pode ser escrita como ;
– exata se com
;
– homogênea se a função do lado direito é de grau zero, ou seja
Vamos usar as definições:
– separável se
– linear se pode ser escrita como
– exata se
– homogênea se a função do lado direito é de grau zero, ou seja
ou equivalentemente
(ou função de
).
Passo 2
Verificando separabilidade:
não se decompõe em
, pois há a combinação
.
Logo, não é separável.
Logo, não é separável.
Passo 3
Verificando linearidade:
Para ser linear em , deveríamos ter
Para ser linear em
Aqui o termo
depende de
dentro da função seno, não pode ser escrito como
nem como
.
Logo, não é linear.
Logo, não é linear.
Passo 4
Verificando exatidão:
Reescrevemos como
Reescrevemos como
onde
e
.
Calculamos
Calculamos
enquanto
.
Como , não é exata.
Como
Passo 5
Verificando homogeneidade:
Definimos
Definimos
Para qualquer
,
Isso mostra que
é homogênea de grau zero.
Alternativamente, podemos ver
Alternativamente, podemos ver
confirmando que é uma equação homogênea.
Resposta
A equação é homogênea.