Em cada item abaixo, indique se a equação é separável, homogênea, exata, linear, ou nenhum desses tipos.
d rd theta=sen(thetar)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
drdtheta = sinl(tfracthetarr)
como separável, homogênea, exata, linear ou nenhum desses.
Vamos usar as definições:
– separável se drdtheta=g(r),h(theta);
– linear se pode ser escrita como drdtheta+P(theta),r = Q(theta);
– exata se M(theta,r),dtheta + N(theta,r),dr=0 com partial M/partial r = partial N/partialtheta;
– homogênea se a função do lado direito é de grau zero, ou seja
F(lambdatheta,lambda r)=F(theta,r),
ou equivalentemente drdtheta=Gl(r/thetar) (ou função de theta/r).

Passo 2

Verificando separabilidade:
sinl(tfracthetarr)
não se decompõe em g(r),h(theta), pois há a combinação theta/r.
Logo, não é separável.

Passo 3

Verificando linearidade:
Para ser linear em r, deveríamos ter
drdtheta + P(theta),r = Q(theta)
Aqui o termo sin(theta/r) depende de r dentro da função seno, não pode ser escrito como P(theta),r nem como Q(theta).
Logo, não é linear.

Passo 4

Verificando exatidão:
Reescrevemos como
-sinl(tfracthetarr),dtheta + 1cdotdr = 0,
onde M(theta,r)=-sin(theta/r) e N(theta,r)=1.
Calculamos
partial Mpartial r = -cosl(tfracthetarr),partialpartial rl(tfracthetarr) = -cosl(tfracthetarr),l(-thetar^2r) =thetar^2cosl(tfracthetarr),
enquanto
partial N/partialtheta=0.
Como partial M/partial rneqpartial N/partialtheta, não é exata.

Passo 5

Verificando homogeneidade:
Definimos
F(theta,r)=sinl(tfracthetarr)
Para qualquer lambda>0,
F(lambdatheta,lambda r) =sinl(tfraclambdathetalambda rr) =sinl(tfracthetarr) =F(theta,r)
Isso mostra que F é homogênea de grau zero.
Alternativamente, podemos ver
drdtheta = sinl(tfracthetarr) = Gl(r/thetar) com G(v)=sinl(1/vr),
confirmando que é uma equação homogênea.

Resposta

A equação é homogênea.

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