Em cada item abaixo, indique se a equação é separável, homogênea, exata, linear, ou nenhum desses tipos.
d yd x+x y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
dydx + x,y = 0
em um dos tipos: separável, homogênea, exata, linear ou nenhum desses.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão de linha de primeira ordem:
dydx + P(x),y = Q(x)
Aqui P(x)=x e Q(x)=0, o que já mostra que ela se encaixa na definição de equação linear de primeira ordem.

Passo 3

Verificamos separabilidade: isolamos dydx:
dydx = -,x,y Longrightarrow 1y,dy = -,x,dx
Como conseguimos escrever em forma g(y),dy = h(x),dx, a equação também é separável.

Passo 4

Verificamos se é homogênea no sentido de f(tx,ty)=f(x,y):
dydx = -x,y
não depende apenas de y/x, logo não é homogênea.

Passo 5

Verificamos exatidão escrevendo como
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 Longrightarrow x,y,dx + 1cdotdy = 0
Aqui partial M/partial y = x e partial N/partial x=0, não coincide, então não é exata.

Passo 6

Concluímos que a equação é simultaneamente linear e separável, mas como é linear de primeira ordem na forma dydx+P(x)y=Q(x), classificamos como equação linear.

Resposta

A equação é linear.

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