Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine um intervalo em que a solução existe.
Dica: Nos itens (e) e (f) faça uma mudança de variável apropriada. No item (e) faça a mudança de variável
e no tem (f) faça a mudança
.
Passo 1
O enunciado dá o PVI
que é uma equação de Bernoulli com
,
e expoente
. Para resolver, fazemos a mudança de variável
Passo 2
Calculamos
em função de
:
Como
, temos
. Substituindo em
e usando
, obtemos
que é uma equação linear em
.
Passo 3
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
vem
Passo 4
Integramos em
:
Fazendo integração por partes em
encontra-se
Logo
Passo 5
Usamos
. Em
:
Passo 6
Assim
e a solução do PVI é
Passo 7
A função
e a função do lado direito
são contínuas para
e
, e como
, a solução existe e é única em qualquer intervalo que contenha
e não atravesse
. O maior intervalo de existência abrangente é
Resposta
existe em
.