Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine um intervalo em que a solução existe.
Dica: Nos itens (e) e (f) faça uma mudança de variável apropriada. No item (e) faça a mudança de variável u=ln (y^2+1) e no tem (f) faça a mudança u=y^3.
ly^prime+yx=cos (x)y^2 y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá o PVI
y' + yx = cos(x)y^2, y(1)=1,
que é uma equação de Bernoulli com P(x)=1/x, Q(x)=cos(x) e expoente n=-2. Para resolver, fazemos a mudança de variável
u = y^1 - n = y^3

Passo 2

Calculamos u' em função de y':
u = y^3 Longrightarrow u' = 3y^2,y'
Como y^2 = u^2/3, temos y' = u'/(3u^2/3). Substituindo em y' + tfracyx = tfraccos xy^2 e usando y = u^1/3, obtemos
u'3u^2/3 + 1xu^1/3 = cos xu^2/3 ;Longrightarrow; u' + 3x,u = 3cos x,
que é uma equação linear em u.

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral 3x,dxr) = x^3
Multiplicando a equação por x^3 vem
ddxl(x^3 ur) = 3x^3cos x

Passo 4

Integramos em x:
x^3u = integral 3x^3cos x,dx + C
Fazendo integração por partes em integral x^3cos x,dx encontra-se
integral 3x^3cos x,dx =3x^3sin x + 9x^2cos x -18xsin x -18cos x + C
Logo
x^3u = 3x^3sin x + 9x^2cos x -18xsin x -18cos x + C

Passo 5

Usamos y(1)=1Rightarrow u(1)=1. Em x=1:
1cdot 1 = 3sin1 + 9cos1 -18sin1 -18cos1 + C ;Longrightarrow; C = 1 +15sin1 +9cos1

Passo 6

Assim
u(x) = 3x^3sin x + 9x^2cos x -18xsin x -18cos x + l(1 +15sin1 +9cos1r)x^3,
e a solução do PVI é
y(x) = l(u(x)r)^1/3

Passo 7

A função P(x)=1/x e a função do lado direito cos(x)/y^2 são contínuas para xneq0 e yneq0, e como y(1)=1>0, a solução existe e é única em qualquer intervalo que contenha x=1 e não atravesse x=0. O maior intervalo de existência abrangente é
(0,infty)

Resposta

y(x) = gl[ 3x^3sin x + 9x^2cos x -18xsin x -18cos x + l(1 +15sin1 +9cos1r)x^3 gr]^!1/3,
existe em (0,infty).

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