Em cada item abaixo, indique se a equação é separável, homogênea, exata, linear, ou nenhum desses tipos.
(r+theta) d rd theta=r theta

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(r+theta),drdtheta=r,theta
e pede para classificá‐la em um dos tipos: separável, homogênea (no sentido de tfracdrdtheta=F(r/theta)), exata, linear, ou nenhum desses.

Passo 2

Testando separabilidade: escrevemos
drdtheta =r,thetar+theta Longrightarrow r+thetar,theta,dr=dtheta Longrightarrow l(1theta+1rr)dr=dtheta
Como aparece theta dentro do termo que multiplica dr, não há separação do tipo g(r),dr = h(theta),dtheta. Logo, não é separável.

Passo 3

Testando exatidão: colocamos
M(r,theta)=r+theta, N(r,theta)=-r,theta,
de modo que
M,dr+N,dtheta=0
Calculamos
partial Mpartial theta=1, partial Npartial r=-theta,
e como 1neq -theta, a forma não é exata. Logo, não é exata.

Passo 4

Testando linearidade em r: uma EDO linear teria a forma
drdtheta+P(theta),r=Q(theta)
Aqui
drdtheta=r,thetar+theta
não pode ser rearranjada em termos de P(theta) e Q(theta) sem depender de r no denominador. Logo, não é linear.

Passo 5

Testando homogeneidade (no sentido de tfracdrdtheta=F(r/theta)): reescreveríamos
drdtheta =r,thetar+theta =theta;rr+theta
e analisar se tfracdrdtheta depende apenas de r/theta. Mas o fator theta na frente impede que a razão dependa só de r/theta. Assim, não é homogênea no sentido clássico.

Resposta

Nenhum desses tipos.

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