Em cada item abaixo, indique se a equação é separável, homogênea, exata, linear, ou nenhum desses tipos.
x^2 d yd x+y cos x=sen x

Passo 1

O enunciado dá a equação de primeira ordem
x^2dydx+ycos x=sin x
e pede para classificar se ela é separável, homogênea, exata, linear ou nenhum desses tipos.

Passo 2

Testando se é separável: escrever
dydx=sin x - ycos xx^2
não permite escrever o lado direito como produto de uma função só de x por uma função só de y. Logo, não é separável.

Passo 3

Testando se é homogênea: a forma dy/dx=F(x,y) seria homogênea se F dependesse apenas de y/x. Aqui
F(x,y)=sin x - ycos xx^2
não é função de y/x, então não é homogênea.

Passo 4

Testando se é exata: coloque na forma
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
com
M(x,y)=ycos x-sin x, N(x,y)=x^2
Calculando
partial Mpartial y=cos x, partial Npartial x=2x,
como cos xneq2x em geral, não é exata.

Passo 5

Testando se é linear: divida por x^2 para obter
dydx+underbracecos xx^2a(x),y =underbracesin xx^2b(x)
Isso está na forma padrão de equação linear de coeficientes dependentes só de x. Portanto, é linear de primeira ordem.

Resposta

A equação é linear.

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