Em cada item abaixo, indique se a equação é separável, homogênea, exata, linear, ou nenhum desses tipos.
y^prime+y=t e^-1+1

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a equação de primeira ordem
y' + y = t e^-1 + 1
indicando se ela é separável, homogênea, exata, linear ou nenhum desses tipos. O conteúdo é reconhecimento de formas padrão de EDOs de primeira ordem.

Passo 2

Testando separabilidade: escrevemos
dydt = -y + t e^-1 + 1
Para ser separável, precisaríamos de algo como dydt=g(t),h(y). Aqui temos soma de termos em y e em t, logo não é possível escrever como produto g(t)h(y). Portanto, não é separável.

Passo 3

Testando homogeneidade: uma EDO dy/dt=F(t,y) é homogênea se F(lambda t,lambda y)=F(t,y) para todo lambda. Como
F(t,y)=-y + t e^-1 + 1
não satisfaz essa condição (há termo constante “ +1” e coeficiente que não escala de forma homogênea), concluímos que não é homogênea.

Passo 4

Testando exatidão: passamos para a forma
M(t,y),dt + N(t,y),dy = 0,
com M(t,y)=y - t e^-1 - 1 e N(t,y)=1. Calculamos
partial Mpartial y=1, partial Npartial t=0
Como partial M/partial y neq partial N/partial t, não é exata.

Passo 5

Testando linearidade: a forma padrão de uma EDO linear de 1ª ordem é
y' + p(t),y = q(t)
Aqui temos exatamente
y' + 1cdot y = t e^-1 + 1,
onde p(t)=1 e q(t)=t e^-1+1. Logo, a equação é linear.

Resposta

Linear

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