Em cada item abaixo, indique se a equação é separável, homogênea, exata, linear, ou nenhum desses tipos.
d yd x=x-e^-xy+e^y

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial segundo os tipos: separável, homogênea, exata, linear ou nenhum desses. A equação é
dydx = x - e^-xy + e^y
Vamos checar cada tipo na seguinte ordem: separável, linear, homogênea e exata.

Passo 2

Verificação de separabilidade. Escrevendo
dydx = x - e^-xy + e^y Longrightarrow (y + e^y),dy = (x - e^-x),dx,
vemos que o lado esquerdo depende só de y e o direito só de x. Logo a equação é separável.

Passo 3

Verificação de linearidade em y. A forma padrão de uma equação linear é
dydx + P(x),y = Q(x)
Aqui dydx=(x-e^-x)(y+e^y)^-1 não se encaixa nessa forma porque y aparece dentro de e^y e no denominador. Portanto, não é linear.

Passo 4

Verificação de homogeneidade. Uma equação homogênea em x,y satisfaz
f(tx,ty)=f(x,y) ou se dydx=F(y/x).
No nosso caso
x-e^-xy+e^y
não se reduz a uma função de y/x devido aos termos exponenciais. Logo não é homogênea.

Passo 5

Verificação de exatidão. Reescrevendo em forma diferencial
(y+e^y),dy - (x - e^-x),dx = 0,
temos
M(x,y) = -(x - e^-x), N(x,y) = y + e^y
Como
partial Mpartial y=0
e
partial Npartial x=0,
a condição partial M/partial y = partial N/partial x vale. Portanto a equação é exata. Porém, como a forma separável já é a classificação mais direta (e única esperada), escolhemos “separável”.

Resposta

Separável.

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