Em cada item abaixo, indique se a equação é separável, homogênea, exata, linear, ou nenhum desses tipos.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a equação diferencial segundo os tipos: separável, homogênea, exata, linear ou nenhum desses. A equação é
Vamos checar cada tipo na seguinte ordem: separável, linear, homogênea e exata.
Passo 2
Verificação de separabilidade. Escrevendo
vemos que o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
. Logo a equação é separável.
Passo 3
Verificação de linearidade em
. A forma padrão de uma equação linear é
Aqui
não se encaixa nessa forma porque
aparece dentro de
e no denominador. Portanto, não é linear.
Passo 4
Verificação de homogeneidade. Uma equação homogênea em
satisfaz
ou se
.
No nosso caso
não se reduz a uma função de devido aos termos exponenciais. Logo não é homogênea.
No nosso caso
não se reduz a uma função de
Passo 5
Verificação de exatidão. Reescrevendo em forma diferencial
temos
Como
e
,
a condição vale. Portanto a equação é exata. Porém, como a forma separável já é a classificação mais direta (e única esperada), escolhemos “separável”.
e
a condição
Resposta
Separável.